t 제곱의 합은 얼마입니까?

적당한 크기의 (예 : 100 미만)에 대해 자유도 를 갖는 Student t 분포에서 iid로 하자 . 정의 이며 카이 제곱 분포와 거의 자유도? 제곱 임의 변수의 합에 대한 중앙 한계 정리와 같은 것이 있습니까? $t_i$ $n$ $n$

T = \sum_{1 \leq i \leq k} t_{i}^{2}

$T = \sum_{1\le i \le k} t_i^2$

T

$T$

k

$k$

chi-squared central-limit-theorem t-distribution

— 초라한 요리사
소스

@suncoolsu : 그것은 '거의'라고 말하고 있습니다 ...

— shabbychef

내 사과 그것을 보지 못했습니다.

— suncoolsu

답변:

첫 번째 질문에 대답.

mpiktas가 언급 한 사실, 에서 시작할 수 있습니다. 그런 다음 의해 분포 된 두 개의 랜덤 변수의 합의 분포를 먼저 검색하여 더 간단한 단계를 시도하십시오 . 이것은 두 개의 랜덤 변수의 컨벌루션을 계산하거나 특성 함수의 곱을 계산하여 수행 할 수 있습니다. $t^2 \sim F(1, n)$ $F(1,n)$

PCB Phillips 의 기사 는 "[confluent] hypergeometric functions"에 대한 나의 첫 추측이 사실이라는 것을 보여줍니다. 그것은 해결책이 사소한 것이 아니며 무차별 대입은 복잡하지만 질문에 대답하는 데 필요한 조건이라는 것을 의미합니다. 따라서 은 고정되어 있고 t- 분포를 요약하면 최종 결과가 무엇인지 확실하게 말할 수 없습니다. 유창한 초 지오메트리 기능의 제품을 다루는 데 능숙하지 않은 사람. $n$

— 드미트리 셀 로프
소스

링크 +1, F 분포의 특징적인 기능이 너무 복잡하다는 것을 몰랐다.

— mpiktas

근사치조차 아닙니다. 작은 들어 ,의 기대 동일 의 기대 반면 동일 . 가 작을 때 (예를 들어, 10 미만) 와 히스토그램의 모양 이 같지 않아 이동 및 크기 조정이 여전히 작업. $n$ $T$ $\frac{k n}{n-2}$ $\chi^2(k)$ $k$ $k$ $\log(T)$ $\log(\chi^2(k))$ $T$

직관적으로, 작은 자유도를 위해 Student 's 는 짙은 꼬리가 있습니다. 그것을 제곱하는 것은 그 무거움을 강조합니다. 따라서 합계는 제곱 법선 ( 분포) 보다 더 치우칩니다 ( 보통 훨씬 더 치우칩니다 ). 계산과 시뮬레이션이이를 뒷받침합니다. $t$ $\chi^2$

삽화 (요청에 따라)

대체 텍스트

각 히스토그램은 @mpiktas에 설명 된대로 표준화 된 지정된 자유도 ( ) 및 요약 ( )을 사용한 100,000 회 시행의 독립적 인 시뮬레이션을 보여줍니다 . 맨 아래 행 의 값은 경우와 비슷합니다 . 따라서 각 열을 스캔하여 를 비교할 수 있습니다 . $n$ $k$ $n=9999$ $\chi^2$ $T$ $\chi^2$

적절한 모멘트가 존재하지 않기 때문에 표준화는 불가능 합니다. 모양의 안정성 부족 (행에서 왼쪽에서 오른쪽으로 또는 열에서 아래로 스캔 할 때)이 로 표시됩니다 . $n \lt 5$ $n \le 4$

— 우버
소스

나는 그것을 두려워했지만, 합산은 꼬리를 다소 가져올 것이라고 생각했습니다.

— shabbychef

나는 또한 무엇을 보려고, 몬테 카를로 실험의 일종을 생산하는 것으로 생각 과 근사가 가까이 충분히있을 수 , 아마 우리가 여기 필요가있다. 그러나 작은 및 특히 경우 실제로 매우 꼬리가 무겁습니다. 나 같은 게으른 사람들을 위해이 두 히스토그램을 여기에 추가 할 수 있습니까?

n

$n$

k

$k$

χ^{2} (k)

$\chi^2(k)$

k (n)

$k(n)$

k

$k$

n

$n$

— Dmitrij Celov

@Dmitrij 시뮬레이션은 빠르다 (히스토그램을 그리는 데 더 많은 시간이 걸린다).

— whuber

수치는 +1입니다. 그림은 항상보기 좋습니다.

— Dmitrij Celov

두 번째 질문에 대답하겠습니다. 중심 제한 정리는 제곱 또는 제곱이 아닌 모든 iid 시퀀스에 대한 것입니다. 따라서 귀하의 경우 경우 우리가 충분히 크다 $k$

$\dfrac{T-kE(t_1)^2}{\sqrt{kVar(t_1^2)}}\sim N(0,1)$

여기서 및 는 각각 자유도를 갖는 제곱 스튜던트 t 분포의 평균 및 분산입니다 . 참고 와 F 분포로 분포 개 자유도. wikipedia page 에서 평균과 분산에 대한 공식을 얻을 수 있습니다 . 최종 결과는 다음과 같습니다. $Et_1^2$ $Var(t_1^2)$ $n$ $t_1^2$ $1$ $n$

$\dfrac{T-k\frac{n}{n-2}}{\sqrt{k\frac{2n^2(n-1)}{(n-2)^2(n-4)}}}\sim N(0,1)$

— mpiktas
소스

호텔 링의 T ^ 2 : (f − d + 1) / fd T ^ 2 ∼ F (d, f + 1 − d)

— DWin

@DWin, Hotelling의 가 실제로 여기에 적용 되는지 확실하지 않습니다 . 위키 피 디아 페이지에서 공식에서 적어도 즉시 것이 분명하지 않다 OP의 문제는 다음과 같이 표현 될 수 . 좀 더 자세히 설명해 주시겠습니까?

T^{2}

$T^2$

T

$T$

T^{2}

$T^2$

— mpiktas

일부 초 기하 도형을 두려워하지만 의 컨벌루션을 검색 하지만 어딘가에 알려야합니다.

F (1, n) + F (1, n)

$F(1,n)+F(1,n)$

— Dmitrij Celov

분산 행렬이 대각선 일 때 상황이 줄어 듭니다. 표본이 표준에서 온 경우 표본의 비 대각선 요소는 0에 가까워 야하지만 t에서 유래 한 경우 정확히 0이 아닐 수 있습니다. 그럼에도 불구하고, 당신은 대략적인 것을 요구했기 때문에 그 대답에 따라 대답은 F라고 생각합니다.

— DWin

@DWin : 그것은 확실히 대각 공분산 행렬과 함께 호텔 링과 같은 모양을 수행하지만 다소 혼란 스러워요 : 첫 번째 원칙에서, 그것의 합은 아닌 것 같아 의 RV가 같은 분산 될 수 ...

F (1, n)

$F(1,n)$

F

$F$

— shabbychef