결과 변수가 케이스 / 제어 상태가 아닌 경우 케이스 제어 설계에서 로지스틱 회귀 계수 추정

다음과 같은 방법으로 크기 모집단의 데이터를 샘플링합니다 . $N$ $k=1, ..., N$

개별 의 "질병"상태 관찰 $k$
질병이있는 경우 확률로 표본에 포함시킵니다. $p_{k1}$
질병이없는 경우 확률로 질병을 포함시킵니다 . $p_{k0}$

이진 결과 변수 및 예측 변수 벡터 가 대해이 방법으로 샘플링 된 대상 을 관찰 가정합니다 . 결과 변수는 "질병"상태 가 아닙니다 . 로지스틱 회귀 모델의 매개 변수를 추정하고 싶습니다. $Y_i$ ${\bf X}_i$ $i=1, ..., n$

\log (\frac{P (Y_{i} = 1 | X_{i})}{P (Y_{i} = 0 | X_{i})}) = α + X_{i} β

$\log \left( \frac{ P(Y_i = 1 | {\bf X}_i) }{ P(Y_i = 0 | {\bf X}_i) } \right) = \alpha + {\bf X}_i {\boldsymbol \beta}$

내가 관심을 갖는 것은 (log) 승산 비 ${\boldsymbol \beta}$ 입니다. 절편은 나와 관련이 없습니다.

내 질문은 : 샘플링 확률 , 을 무시 하고 모형을 피팅하여 에 대한 합리적인 추정치를 얻을 수 있습니까? 평범한 무작위 표본 이었습니까? ${\boldsymbol \beta}$ $\{ p_{i1}, p_{i0} \}$ $i=1, ..., n$

나는이 질문에 대한 답이 "예"라고 확신합니다. 내가 찾고있는 것은 이것을 검증하는 참조입니다.

내가 확신하는 두 가지 주요 이유는 다음과 같습니다.

나는 많은 시뮬레이션 연구를 해왔으며 이것들 중 어느 것도 이것과 모순되지 않으며,
모집단이 위의 모델에 의해 관리되는 경우 샘플링 된 데이터를 관리하는 모델은 다음과 같습니다.

\log (\frac{P (Y_{i} = 1 | X_{i})}{P (Y_{i} = 0 | X_{i})}) = \log (p_{i 1}) - \log (p_{i 0}) + α + X_{i} β

$\log \left( \frac{ P(Y_i = 1 | {\bf X}_i) }{ P(Y_i = 0 | {\bf X}_i) } \right) = \log(p_{i1}) - \log(p_{i0}) + \alpha + {\bf X}_i {\boldsymbol \beta}$

샘플링 확률이 의존하지 않는 경우, 이것은 절편으로의 간단한 이동을 나타내며 의 포인트 추정값 은 분명히 영향을받지 않습니다. 그러나 각 사람마다 오프셋이 다르면 비슷한 점이 의심되지만 확실히 다른 점 추정치를 얻을 수 있기 때문에이 논리는 적용되지 않습니다. $i$ ${\boldsymbol \beta}$

관련 : Prentice and Pyke (1979)의 논문 은 사건 통제 (결과로 질병 상태를 갖는)에서 발생하는 로지스틱 회귀 계수는 전향 적 연구에서 수집 한 것과 동일한 분포를 가지고 있다고 말합니다. 나는이 같은 결과가 여기에 적용 될 것이라고 생각하지만 나는 종이의 모든 비트를 완전히 이해하지 못한다고 고백해야합니다.

의견 / 참조에 미리 감사드립니다.

logistic case-control-study

— 매크로
소스

"결과 변수는 질병 상태 가 아닙니다 "라고 말합니다. 무엇 표시? CV에 다시 오신 것을 환영합니다.

Y_{i} = 1

$Y_i=1$

— gung-Monica Monica 복원

Y_{i}

$Y_i$ 는 다른 변수입니다. 의미하는 것은 샘플링 확률을 지시하는 변수 (보통 사례 관리에서 질병 상태)가 결과 변수와 같지 않다는 것입니다. 데이터 세트의 2 차 분석을 생각하십시오. 예를 들어, 약물 사용자와 약물을 사용하지 않는 사람들의 추가 (빈도 일치, 특정 공변량) 세트를 체계적으로 샘플링하여 샘플을 생성했지만 연구중인 결과 변수는 다른 행동 측정입니다. 이 경우 샘플링 방식은 귀찮습니다. 고마워, btw!

— 매크로

이것은 계량 경제학에서 선택 모델의 변형입니다. 여기서 선택된 표본 만 사용한 추정치의 유효성은 . 여기 것입니다 의 질병 상태. $\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)=\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right)$ $D_i$ $i$

자세한 내용을 보려면 다음 표기법을 정의하십시오. 및 ; 은 가 샘플에있는 이벤트를 나타냅니다 . 또한, 는 단순성을 위해 와 무관 하다고 가정 합니다. $\pi_{1}=\Pr\left(D_{i}=1\right)$ $\pi_{0}=\Pr\left(D_{i}=0\right)$ $S_{i}=1$ $i$ $D_{i}$ $X_{i}$

표본 의 단위 에 대한 의 확률 은 의해 반복 된 만기 법이 적용됩니다. 질병 상태 및 기타 공변량 에 대해 조건부로 가정 하면 결과 는 무관 합니다. 결과적으로 $Y_{i}=1$ $i$

\begin{array}{rcl} Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, S_{i} = 1) & = & E (Y_{i} ∣ X_{i}, S_{i} = 1) \\ = & E {E (Y_{i} ∣ X_{i}, D_{i}, S_{i} = 1) ∣ X_{i}, S_{i} = 1} \\ = & Pr (D_{i} = 1 ∣ S_{i} = 1) Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1, S_{i} = 1) + \\ Pr (D_{i} = 0 ∣ S_{i} = 1) Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0, S_{i} = 1), \end{array}

$\begin{eqnarray*} \Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},S_{i}=1\right) & = & \mathrm{{E}}\left(Y_{i}\mid X_{i},S_{i}=1\right)\\ & = & \mathrm{{E}}\left\{ \mathrm{{E}}\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i},S_{i}=1\right)\mid X_{i},S_{i}=1\right\} \\ & = & \Pr\left(D_{i}=1\mid S_{i}=1\right)\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1,S_{i}=1\right)+\\ & & \Pr\left(D_{i}=0\mid S_{i}=1\right)\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0,S_{i}=1\right), \end{eqnarray*}$

D_{i}

$D_{i}$

X_{i}

$X_{i}$

Y_{i}

$Y_{i}$

S_{i}

$S_{i}$

\begin{array}{rcl} Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, S_{i} = 1) & = & Pr (D_{i} = 1 ∣ S_{i} = 1) Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1) + \\ Pr (D_{i} = 0 ∣ S_{i} = 1) Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0) . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},S_{i}=1\right) & = & \Pr\left(D_{i}=1\mid S_{i}=1\right)\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)+\\ & & \Pr\left(D_{i}=0\mid S_{i}=1\right)\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right). \end{eqnarray*}$ 그것은 쉽게 볼 그 여기서 및 은 샘플링 체계에 정의 된대로입니다. 그러므로,

Pr (D_{i} = 1 ∣ S_{i} = 1) = \frac{π_{1} p_{i 1}}{π_{1} p_{i 1} + π_{0} p_{i 0}} and Pr (D_{i} = 0 ∣ S_{i} = 1) = \frac{π_{0} p_{i 0}}{π_{1} p_{i 1} + π_{0} p_{i 0}} .

$\Pr\left(D_{i}=1\mid S_{i}=1\right)=\frac{\pi_{1}p_{i1}}{\pi_{1}p_{i1}+\pi_{0}p_{i0}}\mbox{ and }\Pr\left(D_{i}=0\mid S_{i}=1\right)=\frac{\pi_{0}p_{i0}}{\pi_{1}p_{i1}+\pi_{0}p_{i0}}.$

p_{i 1}

$p_{i1}$

p_{i 0}

$p_{i0}$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, S_{i} = 1) = \frac{π_{1} p_{i 1}}{π_{1} p_{i 1} + π_{0} p_{i 0}} Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1) + \frac{π_{0} p_{i 0}}{π_{1} p_{i 1} + π_{0} p_{i 0}} Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0) .

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},S_{i}=1\right)=\frac{\pi_{1}p_{i1}}{\pi_{1}p_{i1}+\pi_{0}p_{i0}}\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)+\frac{\pi_{0}p_{i0}}{\pi_{1}p_{i1}+\pi_{0}p_{i0}}\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right).$ 경우 , 샘플 선택 문제를 생략 할 수 있습니다. 반면, , 일반적으로 특별한 경우 로짓 모델을 고려하십시오.

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1) = Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0)

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)=\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right)$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, S_{i} = 1) = Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}),

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},S_{i}=1\right)=\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i}\right),$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1) \neq Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0)

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)\neq\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right)$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, S_{i} = 1) \neq Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i})

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},S_{i}=1\right)\neq\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i}\right)$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 1) = \frac{e^{X_{i}^{'} α}}{1 + e^{X_{i}^{'} α}} and Pr (Y_{i} = 1 ∣ X_{i}, D_{i} = 0) = \frac{e^{X_{i}^{'} β}}{1 + e^{X_{i}^{'} β}} .

$\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=1\right)=\frac{e^{X_{i}'\alpha}}{1+e^{X_{i}'\alpha}}\mbox{ and }\Pr\left(Y_{i}=1\mid X_{i},D_{i}=0\right)=\frac{e^{X_{i}'\beta}}{1+e^{X_{i}'\beta}}.$ 때에도 및 통해 일정한 , 얻어진 분포 로짓 형성을 유지할 것이다. 더 중요한 것은 매개 변수의 해석이 완전히 다를 것입니다. 위의 주장이 문제를 좀 더 명확히하는 데 도움이되기를 바랍니다.

p_{i 1}

$p_{i1}$

p_{i 0}

$p_{i0}$

i

$i$

추가 설명 변수로 를 포함 시키고 에 따라 모형을 추정 하려고합니다 . 사용의 타당성을 정당화하기 위해 , 우리가 입증 할 필요가 , 이는 는 의 충분한 통계량입니다 . 샘플링 프로세스에 대한 추가 정보가 없으면 그것이 사실인지 잘 모르겠습니다. 추상 표기법을 사용합시다. 관측 변수 는 의 임의 함수 와 다른 임의 변수 로 볼 수 있습니다. $D_{i}$ $\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i}\right)$ $\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i}\right)$ $\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i},S_{i}=1\right)=\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i}\right)$ $D_{i}$ $S_{i}$ $S_{i}$ $D_{i}$ $\mathbf{Z}_{i}$ . 나타내고 . 경우 의 독립적 인 조건으로 및 , 우리가 독립의 정의에 의해. 그러나 및 에서 컨디셔닝 한 후 가 무관 한 경우 직관적으로 이며 일반적으로 $S_{i}=S\left(D_{i},\mathbf{Z}_{i}\right)$ $\mathbf{Z}_{i}$ $Y_{i}$ $X_{i}$ $D_{i}$ $\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i},S\left(D_{i},\mathbf{Z}_{i}\right)\right)=\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i}\right)$ $\mathbf{Z}_{i}$ $Y_{i}$ $X_{i}$ $D_{i}$ $\mathbf{Z}_{i}$ $Y_{i}$ $\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i},S\left(D_{i},\mathbf{Z}_{i}\right)\right)=\Pr\left(Y_{i}\mid X_{i},D_{i}\right)$ . 따라서 '그러나'경우, 표본 선택의 무지는 추론으로 오도 될 수있다. 계량 경제학의 샘플 선택 문헌에 익숙하지 않습니다. Microeconometrics: methods and applications' by Cameron and Trivedi (especially the Roy model in that chapter). Also G. S. Maddala's classic book계량 경제학 의 제한적 의존성 및 질적 변수의 16 장을 추천한다. '는 표본 선택과 불연속 결과에 대한 문제를 체계적으로 처리하는 것이다.

— 준결승
소스

감사. 이것은 훌륭한 답변이며 완벽하게 이해됩니다. 내 응용 프로그램에서 은 현실적이지 않습니다. 그러나 를 예측 변수 로 추가 하고 분포 고려하는 것이 좋습니다 . 비슷한 파생을 사용하면 이면 괜찮습니다. 이것은 내 경우에는 합리적인 가정입니다. 어떻게 생각해? BTW,이 문제를 언급 한 참고 문헌이 있습니까? 나는 계량 경제학 문헌에 익숙하지 않다.

P (Y_{i} | X_{i}, D_{i} = 1) = P (Y_{i} | X_{i}, D_{i} = 0)

$P(Y_i|X_i,D_i=1)=P(Y_i|X_i,D_i=0)$

D_{i}

$D_i$

P (Y_{i} | X_{i}, D_{i})

$P(Y_i|X_i,D_i)$

P (Y_{i} = 1 | X_{i}, D_{i}, S_{i} = 1) = P (Y_{i} = 1 | X_{i}, D_{i}, S_{i} = 0)

$P(Y_i=1|X_i,D_i,S_i=1)=P(Y_i=1|X_i,D_i,S_i=0)$

— 매크로

나는 베르누이 재판, 즉 이 데이터 생성 가정 하에서이 베르누이 시행은 조건부로 와 무관 하므로 괜찮습니다. 이 문제에 대한 귀하의 노력과 통찰에 감사 드리며 답변을 받아들이고 있습니다. 아무도 내가 찾고있는 정확한 참조를 가지고 있지 않다고 가정하면 (확장 된 토론으로 벗어나기보다는 단순히이 문제를 간단히 인용 할 수 있기를 바랍니다) 바운티를 수여합니다. 건배.

S_{i} | D_{i} = d, X_{i} = x \sim B e r n o u l l i (p (x, d))

$S_i | D_i=d, X_i=x \sim {\rm Bernoulli} \big( p(x, d) \big)$

Y_{i}

$Y_i$

— 매크로

이 선택 과정은 귀하의 전략에 적합합니다. 이러한 선택 문제에 기초하여, 귀하의 문제는 누락 된 자료 문헌에서 무작위로 누락 된 (MAR) 사례가됩니다. 수상 해 주셔서 감사합니다.

— semibruin