한계에 의해 제한되는 평균이 0 인 2D 표준 편차를 계산하는 방법

내 문제는 다음과 같습니다. 바닥에서 몇 미터 떨어진 특정 지점에서 한 번에 40 개의 공을 떨어 뜨립니다. 공은 구르고 휴식을 취합니다. 컴퓨터 비전을 사용하여 XY 평면의 질량 중심을 계산합니다. 질량 중심에서 각 공까지의 거리에만 관심이 있으며 간단한 지오메트리를 사용하여 계산됩니다. 이제 중심에서 일방적 인 표준 편차를 알고 싶습니다. 따라서 특정 개수의 볼이 하나의 std 반경 내에 있고 더 많은 볼이 2 * std 반경 내에 있다는 것을 알 수 있습니다. 단측 표준 편차는 어떻게 계산합니까? 일반적인 접근법은 볼의 절반이 0의 "부정적 측면"에 있다고 명시합니다. 물론이 실험에서는 의미가 없습니다. 공이 표준 분포를 준수하는지 확인해야합니까? 도움을 주셔서 감사합니다.

중심 주위의 2D 분산 량을 특성화하려면 (근) 평균 제곱 거리를 원합니다.

$$\hat\sigma=\text{RMS} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_i\left((x_i - \bar{x})^2 + (y_i - \bar{y})^2\right)}.$$

이 공식에서 은 점 좌표이며 중심 (평균 점)은$(x_i, y_i), i=1, 2, \ldots, n$$(\bar{x}, \bar{y}).$

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질문은 거리 의 분포 를 요구합니다 . 공이 중심을 중심으로 등방성 이변 량 정규 분포 (표준적이고 물리적으로 합리적인 가정)를 갖는 경우, 제곱 거리는 자유도가 2 인 카이 제곱 분포 (각 좌표에 대해 하나씩)에 비례합니다. 이것은 이기 때문에 독립 표준 표준 변수의 제곱의 합으로 카이 제곱 분포를 정의한 결과입니다. 는 예상 x_i- 갖는 독립 정규 변량의 선형 조합입니다. 의 공통 분산 작성

$$x_i - \bar{x} = \frac{n-1}{n}x_i - \sum_{j\ne i}\frac{1}{n}x_j$$ $$\mathbb{E}[x_i - \bar{x}] = \frac{n-1}{n}\mathbb{E}[x_i] -\sum_{j\ne i}\frac{1}{n}\mathbb{E}[x_j] = 0.$$ $x_i$뿐만 , 이방성의 가정은 가 와 동일한 분포를 가지며 그것들과 독립적이므로 의 분포에 대해 동일한 결과가 유지됩니다 . 이것은 비례의 상수를 설정합니다 . 거리의 제곱은 의해 스케일링 된 2 자유도를 가진 카이 제곱 분포를 갖습니다 .$\sigma^2$ $$\mathbb{E}[\left(x_i -\bar{x}\right)^2]=\text{Var}(x_i - \bar{x}) = \left(\frac{n-1}{n}\right)^2\text{Var}(x_i) + \sum_{j\ne i}\left(\frac{1}{n}\right)^2\text{Var}(x_j) = \frac{n-1}{n}\sigma^2.$$ $y_j$$x_i$$(y_j - \bar{y})^2$$\frac{n-1}{n}\sigma^2$

이 방정식의 가장 심각한 테스트는 이므로 분수 는 과 가장 다릅니다 . 및 대한 실험을 시뮬레이션하고 스케일 된 카이 제곱 분포 (빨간색)로 제곱 거리의 히스토그램을 오버 플로팅하여이 이론을 확인할 수 있습니다.$n=2$$\frac{n-1}{n}$$1$$n=2$$n=40$

각 행에는 동일한 데이터가 표시됩니다. 왼쪽에서 x 축은 로그입니다. 오른쪽에는 실제 제곱 거리가 표시됩니다. 이러한 시뮬레이션에 대한 의 실제 값은 로 설정되었습니다 .$\sigma$$1$

이 결과는 100,000 반복 및 50,000 반복에 대한 것입니다 . 히스토그램과 카이 제곱 밀도 간의 일치는 뛰어납니다.$n=2$$n=40$

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하지만 알 수없는, 그것은 다양한 방법으로 추정 할 수있다. 예를 들어, 평균 제곱 거리가 있어야 배의 평균 이다 . 가진 예를 들어, 추정 등 배의 평균 제곱 거리. 따라서 추정치 것 배 RMS 거리. 분포 값을 사용하여 다음과 같이 말할 수 있습니다.$\sigma^2$$\frac{n-1}{n}\sigma^2$$\chi^2_2$$2$$n=40$$\sigma^2$$\frac{40}{39}/2$$\sigma$$\sqrt{40/78}$$\chi^2_2$

• 분포 의 39 % 가 보다 작기 때문에 거리의 약 39 %가 보다 작습니다 .$\sqrt{39/40}\hat\sigma$$\chi^2_2$$1$

• 거리의 약 78 % 미만이어야한다 배 , (A)의 78 % 때문에 분포 미만 .$\sqrt{3}$$\sqrt{39/40}\hat\sigma$$\chi^2_2$$3$

그리고 여러 배수에 대해 또는 대신 사용하십시오 . 확인으로, 이전에 플롯 된 에 대한 시뮬레이션에서, 배 보다 작은 제곱 거리의 실제 비율 은$1$$3$$n=40$$1, 2, \ldots, 10$$\frac{n-1}{n}\hat\sigma^2$

0.3932 0.6320 0.7767 0.8647 0.9178 0.9504 0.9700 0.9818 0.9890 0.9933

이론적 인 비율은

0.3935 0.6321 0.7769 0.8647 0.9179 0.9502 0.9698 0.9817 0.9889 0.9933

계약은 훌륭합니다.

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R시뮬레이션을 수행하고 분석하는 코드 는 다음과 같습니다 .

f <- function(n, n.iter, x.min=0, x.max=Inf, plot=TRUE) {
  #
  # Generate `n.iter` experiments in which `n` locations are generated using
  # standard normal variates for their coordinates.
  #
  xy <- array(rnorm(n*2*n.iter), c(n.iter,2,n))
  #
  # Compute the squared distances to the centers for each experiment.
  #
  xy.center <- apply(xy, c(1,2), mean)
  xy.distances2 <- apply(xy-array(xy.center, c(n.iter,2,n)), c(1,3), 
                         function(z) sum(z^2))
  #
  # Optionally plot histograms.
  #
  if(plot) {
    xy.plot <- xy.distances2[xy.distances2 >= x.min & xy.distances2 <= x.max]

    hist(log(xy.plot), prob=TRUE, breaks=30,
         main=paste("Histogram of log squared distance, n=", n),
         xlab="Log squared distance")
    curve(dchisq(n/(n-1) * exp(x), df=2) * exp(x) * n/(n-1), 
          from=log(min(xy.plot)), to=log(max(xy.plot)), 
          n=513, add=TRUE, col="Red", lwd=2)

    hist(xy.plot, prob=TRUE, breaks=30,
         main=paste("Histogram of squared distance, n=", n),
         xlab="Squared distance")
    curve(n/(n-1) * dchisq(n/(n-1) * x, df=2), 
          from=min(xy.plot), to=max(xy.plot), 
          n=513, add=TRUE, col="Red", lwd=2)  
  }
  return(xy.distances2)
}
#
# Plot the histograms and compare to scaled chi-squared distributions.
#
par(mfrow=c(2,2))
set.seed(17)
xy.distances2 <- f(2, 10^5, exp(-6), 6)
xy.distances2 <- f(n <- 40, n.iter <- 50000, exp(-6), 12)
#
# Compare the last simulation to cumulative chi-squared distributions.
#
sigma.hat <- sqrt((n / (2*(n-1)) * mean(xy.distances2)))
print(cumsum(tabulate(cut(xy.distances2, 
                    (0:10) * (n-1)/n * sigma.hat^2))) / (n*n.iter), digits=4)
print(pchisq(1:10, df=2), digits=4)

약간 혼란스러운 점이 있다고 생각합니다. 거리가 음수 일 수는 없지만 표준 편차 계산에는 영향을 미치지 않습니다. 거리 분포가 정확히 정상일 수는 없지만 여전히 가까울 수 있습니다. 그러나 정상과 거리가 멀더라도 표준 편차가 여전히 있습니다.

또한 "단면"표준 편차가 없습니다. 가설 검정 (단면 또는 양면)을 생각할 수 있습니다. 제목에서 평균은 0이라고 말하지만 평균 거리는 0이 아닙니다 (공이 스택에 40 공이 높지 않은 한!). 방에서 가장 가까운 벽까지의 거리보다 중심에서 멀어 질 수 없습니다. 그러나 일부 공이 벽에 튀어 나오지 않으면 아무런 영향을 미치지 않습니다.

따라서 40 거리가되면 표준 방법을 사용하여 표준 편차 (평균, 중앙값, 사 분위수 범위 등)를 계산합니다. 또한 거리의 플롯을 작성하여 (예를 들어 Quantile 노멀 플롯, 박스 플롯) 거리가 대략 정규 분포되어 있는지 확인할 수 있습니다 (관심있는 경우).

이것이 요청 된 지 오래되었지만 질문에 대한 답은 이것이 Rayleigh 분포라는 2D 분포라는 것입니다. 여기서 레일리 셰이프 팩터는 X 및 Y 좌표의 표준 편차와 동일하다고 가정합니다. 실제로, 형상 계수의 값은 표준 편차 X와 Y의 합산 평균에서 계산됩니다.

시작하여 및

$$X \sim \mathcal{N}(\mu_x,\sigma_x^2)$$ $$Y \sim \mathcal{N}(\mu_y,\sigma_y^2)$$

이변 량 정규 분포를 사용합니다.

$$f(x,y) = \frac{1}{2 \pi \sigma_x \sigma_y \sqrt{1-\rho^2}} \exp\left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[ \frac{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2} + \frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2} - \frac{2\rho(x-\mu_x)(y-\mu_y)}{\sigma_x \sigma_y} \right] \right)$$

포인트 하고 이라고 가정하십시오 .

$$(\mu_x, \mu_y)$$ $$\rho = 0$$

또한 라고 가정 하여 둘 다 바꾸십시오.

$$\sigma_x^2 = \sigma_y^2$$ $$\sigma^2$$

2 차원 분포는 Rayleigh 분포 라고하는 점 주위의 반지름 으로 표시됩니다 .

$$(\mu_x, \mu_y)$$

$$PDF(r; \sigma) = \frac{r}{\sigma^2 } \exp\left( - \frac{r^2}{2\sigma^2} \right)$$ 여기서 및 $$\sigma = \sigma_x = \sigma_y$$ $$r_i = \sqrt{(x_i - \mu_x)^2 + (y_i - \mu_y)^2}$$

$$CDF(r; \sigma) = 1 - \exp\left( - \frac{r^2}{2\sigma^2} \right)$$

물론 이것은 지속적인 배포를위한 것입니다. 단지 40 개의 공의 샘플에 대해서는 정확한 해결책이 없습니다. 샘플 40 개로 Monte Carlo Analysis를 수행해야합니다. Taylor, MS & Grubbs, Frank E. (1975). "극단 확산에 대한 대략적인 확률 분포" 는 Chi 분포에 대한 추정치와 이에 대한 로그 정규 분포가 표본의 분포에 적합하다는 것을 발견했습니다.

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편집-Wuber의 의심에도 불구하고 그가 계산 한 이론적 비율은 다음과 같습니다.

0.3935 0.6321 0.7769 0.8647 0.9179 0.9502 0.9698 0.9817 0.9889 0.9933

CDF 함수에서 r (시그마)에 대한 누적 시그마 값의 범위는 다음과 같습니다.

0-1, 0-2, 0-3, ..., 0-10

아르:

0.3935, 0.6321, 0.7769, 0.8647, 0.9179, 0.9502, 0.9698, 0.9817, 0.9889, 0.9933

이 정규 분포가 반지름 또는 "중심으로부터의 거리"임을 인식하면 양수 및 음수 값의 정규 분포가 의미가 있습니다. 다른 변수 각도는 무작위이며 0-pi에서 균일하게 분포됩니다.