지수 랜덤 변수에 대한 달성 가능한 상관 관계

지수 분포 확률 변수 및 쌍에 대해 달성 가능한 상관 범위는 무엇이며 , 여기서 은 비율 매개 변수?X 2 ~ E x p ( λ 2 ) λ 1 , λ 2 > $X_1 \sim {\rm Exp}(\lambda_1)$$X_2 \sim {\rm Exp}(\lambda_2)$$\lambda_1, \lambda_2 > 0$

하자 (RESP. \ RHO가 _ {\ 최대} ) 하부 나타낸다 (RESP를. 위) 사이의 관계의 경계 달성 X_1 및 X_2 . 경계 \ RHO _ {\ 분} 과 \ RHO _ {\ 최대} 때 도달 X_1 및 X_2는 (참조 : 각각 countermonotonic하고있다 comonotonic 여기 ).$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$

하한 하한
을 결정하기 위해 쌍 반음 수 지수 변수를 구성하고 이들의 상관 관계를 계산합니다.$\rho_{\min}$

여기에 언급 된 필요하고 충분한 조건 과 확률 적분 변환 은 랜덤 변수 및 를 구성하여 되도록하는 편리한 방법을 제공합니다 . 지수 분포 함수는 이므로 Quantile 함수는 .$X_1$$X_2$
$F(x) = 1 - \exp(-\lambda x)$$F^{-1}(q) = -\lambda^{-1}\log (1-q)$

하자 균일하게 분산 된 랜덤 변수, 다음 수 또한 균일 확률 변수 분산되어 에는 각각 및 의 지수 분포가 있습니다. 또한 및 이므로 함수 및 는 각각 증가 및 감소합니다.$U\sim U(0, 1)$$1-U$

$$X_1 = -\lambda_1^{-1}\log (1-U), \quad \text{and } X_2 = -\lambda_2^{-1}\log (U)$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$X_1 = h_1(U)$$X_2 = h_2(U)$$h_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$h_2(x)=-\lambda_1^{-1}\log (x)$

이제 과 의 상관 관계를 계산해 봅시다 . 지수 분포의 특성에 따라 , , 및 입니다. 또한 여기서$X_1$$X_2$${\rm E}(X_1) = \lambda_1^{-1}$${\rm E}(X_2) = \lambda_2^{-1}$${\rm var}(X_1) = \lambda_1^{-2}$${\rm var}(X_2) = \lambda_2^{-2}$

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) f_U(u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \left (2 - \frac{\pi^2}{6} \right ), \end{align}$$ $f_U(u) \equiv 1$표준 균일 분포의 밀도 함수입니다. 마지막 평등을 위해 나는 WolframAlpha에 의존했습니다 .

따라서 하한은 및 비율에 의존하지 않으며 두 마진이 같더라도 (즉, 인 경우에도) 상관 관계가 에 도달하지 않습니다 .

$$\begin{align} \rho_{\min} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} (2 - \pi^2/6 ) - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 - \pi^2/6 \approx −0.645. \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$-1$$\lambda_1 = \lambda_2$

상한
상한 를 결정하기 위해 우리는 한 쌍의 공수 지수 변수와 유사한 접근법을 따릅니다. 이제 및 라고하겠습니다. 여기서 및 , 둘 다 증가하는 기능입니다. 따라서이 임의의 변수는 공생 적이며 지수 및 와 함께 지수 분포됩니다 .$\rho_{\max}$$X_1 = g_1(U)$$X_2 = g_2(U)$$g_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$g_2(x)=-\lambda_2^{-1}\log (1-x)$$\lambda_1$$\lambda_2$

우리는이 , 따라서 하한과 마찬가지로 상한은 및 비율에 의존하지 않습니다 .

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (1-U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \left\{\log (1-u) \right\}^2 {\rm d}u \\ &= 2 \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} , \end{align}$$ $$\begin{align} \rho_{\max} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ 2\lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 . \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$