이 분산 측정 오류가있는 AR (1) 프로세스

1. 문제

변수 측정 값이 있는데 $y_t$, 여기서 MCMC를 통해 얻은 $t=1,2,..,n$분포 를 갖는 n , $f_{y_t}(y_t)$ 을 단순화하기 위해 평균 $\mu_t$ 및 분산 가우스라고 가정 $\sigma_t^2$합니다.

$g(t)$ 와 같은 관측에 대한 물리적 모델이 있지만 잔차 $r_t = \mu_t-g(t)$ 는 상관 관계가있는 것으로 보입니다. 특히, 나는 $AR(1)$ 프로세스가 상관 관계를 고려하기에 충분 하다고 생각할 물리적 이유가 있으며 , MCMC를 통해 적합 계수를 구할 가능성이 필요한 계획을 세우고있다 . 나는 해결책이 다소 간단하다고 생각하지만 확실하지 않습니다 (너무 간단 해 보이므로 뭔가 빠진 것 같습니다).

2. 가능성의 도출

제로 평균 $AR(1)$ 프로세스는 다음과 같이 쓸 수 있습니다 :

$$X_t = \phi X_{t-1}+\varepsilon_t,\ \ \ (1)$$ 여기서 $\varepsilon_t\sim N(0,\sigma_w^2)$ 합니다. 따라서 추정 될 매개 변수는 $\theta = \{\phi,\sigma_w^2\}$ (제 경우에는 모델 g ( t ) 의 매개 변수도 추가해야합니다$g(t)$하지만 문제는 아닙니다.) I 관찰 무엇 그러나 변수 인 $$R_t = X_t+\eta_t,\ \ \ (2)$$ I가 믿고있어 $\eta_t\sim N(0,\sigma_t^2)$ 및 $\sigma_t^2$ (측정 오차) 공지 . $X_t$ 가우시안 프로세스 이기 때문에 $R_t$ 도 마찬가지입니다. 특히, 나는 따라서, R 1 ~ N ( 0 , σ 2 w / [ 1 - φ 2 ] + σ (2) T는 ) . 다음 도전은 R t | t ≠ 1 인 경우 R t - 1 입니다. 이 랜덤 변수의 분포를 도출하려면 eq. ( 2 ) 내가 쓸 수 X의 $$X_1 \sim N(0,\sigma_w^2/[1-\phi^2]),$$ $$R_1 \sim N(0,\sigma_w^2/[1-\phi^2]+\sigma_t^2).$$ $R_t|R_{t-1}$$t\neq 1$$(2)$ eq. (2), 그리고 eq. (1), I는 쓸 수 R t = X t + η t =φ X t - 1 + ε t + η t . eq. (3)마지막으로 표현하고, I는 구 R의 $$X_{t-1} = R_{t-1}-\eta_{t-1}.\ \ \ (3)$$ $(2)$$(1)$ $$R_{t} = X_t+\eta_t = \phi X_{t-1}+\varepsilon_{t}+\eta_t.$$ $(3)$ 따라서 R t | R의 t - 1 = φ ( R t - 1 - η t - 1 ) + ε t + η t , 그리고, 따라서, R의 t | R t - 1 ∼ N $$R_{t} = \phi (R_{t-1}-\eta_{t-1})+\varepsilon_{t}+\eta_t,$$ $$R_t|R_{t-1} = \phi (r_{t-1}-\eta_{t-1})+\varepsilon_{t}+\eta_t,$$ 마지막으로 우도 함수를 L ( θ ) = f R 1 ( R 1 = r 1 ) n ∏ t = 2 f R t | R t - 1 ( R t = r $$R_t|R_{t-1} \sim N(\phi r_{t-1},\sigma_w^2+\sigma_t^2-\phi^2\sigma^2_{t-1}).$$ f는 ( ⋅ ) 정의 방금 정의한 변수 .IE의 분포이다 σ ' 2 = σ 2 W는 / [ 1 - φ 2 ] + σ 2 t , f R 1 ( R 1 = r 1 ) = $$L(\theta) = f_{R_1}(R_1=r_1) \prod_{t=2}^{n} f_{R_{t}|R_{t-1}}(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1}),$$ $f(\cdot)$$\sigma'^2 = \sigma_w^2/[1-\phi^2]+\sigma_t^2,$ 및 정의σ2(t)=σ 2 w +σ (2) t -φ2σ (2) t - 1 , FR의t| Rt-1(Rt=rt|Rt-1=rt-1)= $$f_{R_1}(R_1=r_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma'^2}}\text{exp}\left(-\frac{r_1^2}{2\sigma'^2}\right),$$ $\sigma^2(t) = \sigma_w^2+\sigma_t^2-\phi^2\sigma^2_{t-1}$ $$f_{R_{t}|R_{t-1}}(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2(t)}}\text{exp}\left(-\frac{(r_t-\phi r_{t-1})^2}{2\sigma^2(t)}\right)$$

3. 질문

1. 내 파생은 괜찮습니까? 시뮬레이션 이외의 다른 비교할 자료가 없으며 (동의 한 것으로 보입니다) 통계학자가 아닙니다!
2. $MA(1)$$ARMA(1,1)$$ARMA(p,q)$

1. $R_t$$R_{t-1}$$\phi r_{t-1}$$\phi \widehat{x}_{t-1}$$\widehat{x}_{t-1}$$X$$\widehat{x}_{t-1}$$r_{t-1}$$\sigma_w$$\phi$$X$$\sigma_{\eta}$$R$$X$

2. $\sigma_{\eta}$$Z=1$$d=c=0$$H_t = \sigma_{\eta,t}^2$$T=\phi$$R=1$$Q=\sigma^2_w$

솔직히 BUG 또는 STAN으로 코딩해야하며 걱정하지 않아도됩니다. 이것이 이론적 인 질문이 아닌 한.