지수 가중 이동 왜곡 / 커트 시스

지수 가중 이동 평균 및 공정의 표준 편차 을 계산하기위한 잘 알려진 온라인 공식이 $(x_n)_{n=0,1,2,\dots}$있습니다. 평균적으로

$\mu_n = (1-\alpha) \mu_{n-1} + \alpha x_n$

그리고 분산을 위해

$\sigma_n^2 = (1-\alpha) \sigma_{n-1}^2 + \alpha(x_n - \mu_{n-1})(x_n - \mu_n)$

표준 편차를 계산할 수 있습니다.

지수 가중 된 제 3 및 제 4 중심 모멘트의 온라인 계산을위한 유사한 공식이 있습니까? 내 직감은 그들이 형식을 취해야한다는 것입니다

$M_{3,n} = (1-\alpha) M_{3,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1})$

과

$M_{4,n} = (1-\alpha) M_{4,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1},M_{3,n},M_{3,n-1})$

여기에서 왜도 및 첨도 k n = M 4 , n / σ 4 n을 계산할 수 있었지만 함수에 대한 단순하고 닫힌 형식의 표현을 찾을 수 없었습니다 f 와 g .$\gamma_n = M_{3,n} / \sigma_n^3$$k_n = M_{4,n}/\sigma_n^4$$f$$g$

---

편집 : 더 많은 정보. 이동 분산에 대한 업데이트 공식은 지수 가중 이동 공분산에 대한 공식의 특수한 경우입니다.

$C_n(x,y) = (1-\alpha) C_{n-1}(x,y) + \alpha (x_n - \bar{x}_n) (y_n - \bar{y}_{n-1})$

여기서 과 ˉ y n 은 x 와 y 의 지수 이동 수단입니다 . x 와 y 사이의 비대칭 은 환상적이며 y - ˉ y n = ( 1 - α ) ( y - ˉ y n - 1 )을 발견 하면 사라집니다 .$\bar{x}_n$$\bar{y}_n$$x$$y$$x$$y$$y-\bar{y}_n = (1-\alpha) (y-\bar{y}_{n-1})$

이와 같은 공식은 중심 모멘트를 기대 값 으로 작성하여 기대 값의 가중치가 지수로 이해되고 함수 f ( x )에 대해$E_n(\cdot)$$f(x)$

$E_n(f(x)) = \alpha f(x_n) + (1-\alpha) E_{n-1}(f(x))$

이 관계를 사용하여 평균 및 분산에 대한 업데이트 공식을 쉽게 도출 할 수 있지만 세 번째 및 네 번째 중심 모멘트에는 더 까다로운 것으로 입증되었습니다.

공식은 간단하지만 질문에서 암시하는 것처럼 간단하지 않습니다.

하자 이전 EWMA하고하자 X = X N , 독립적으로 추정되는 Y . 으로 정의 새로운 가중 평균은 Z = α X + ( 1 - α ) Y가 일정한 값에 대한 α . 표기법의 편의를 위해 β = 1 - α로 설정하십시오 . 하자 F는 는 A 확률 변수의 CDF 및 나타내는 φ 나타낸다 그 순간 발생 기능을 그래서,$Y$$X = x_n$$Y$$Z = \alpha X + (1 - \alpha)Y$$\alpha$$\beta = 1-\alpha$$F$$\phi$

$$\phi_X(t) = \mathbb{E}_F[\exp(t X)] = \int_\mathbb{R}{\exp(t x) dF_X(x)}.$$

함께 켄달과 스튜어트 ,하자 는랜덤 변수Z에대한비-중심 차수k를 나타내고; 즉,$\mu_k^{'}(Z)$$k$$Z$. 왜도및첨도는의 관점에서 표현할 수 있습니다$\mu_k^{'}(Z) = \mathbb{E}[Z^k]$k=1,2,3,4에대해 ' k ' ; 예를 들어, 왜도는μ3/μ 3 / 2 2로정의됩니다.$\mu_k^{'}$$k = 1,2,3,4$$\mu_3 / \mu_2^{3/2}$

$$\mu_3 = \mu_3^{'} - 3 \mu_2^{'}\mu_1^{'} + 2{\mu_1^{'}}^3 \text{ and }\mu_2 = \mu_2^{'} - {\mu_1^{'}}^2$$

세 번째와 두 번째 중심 모멘트입니다.

표준 기본 결과에 따라

$$\eqalign{ &1 + \mu_1^{'}(Z) t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Z) t^2 + \frac{1}{3!} \mu_3^{'}(Z) t^3 + \frac{1}{4!} \mu_4^{'}(Z) t^4 +O(t^5) \cr &= \phi_Z(t) \cr &= \phi_{\alpha X}(t) \phi_{\beta Y}(t) \cr &= \phi_X(\alpha t) \phi_Y(\beta t) \cr &= (1 + \mu_1^{'}(X) \alpha t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(X) \alpha^2 t^2 + \cdots) (1 + \mu_1^{'}(Y) \beta t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Y) \beta^2 t^2 + \cdots). }$$

에서 4 차를 통해 후자의 곱셈 멱급수 원하는 비 순간 중심을 구 하고있는 용어와 용어 결과 별 용어 동일시 φ Z ( t ) .$t$$\phi_Z(t)$

다음 업데이트 공식이 세 번째 순간에 효과가 있다고 생각하지만 누군가가 그것을 확인하게되어 기쁩니다.

$M_{3,n} = (1-\alpha)M_{3,n-1} + \alpha \Big[ x_n(x_n-\mu_n)(x_n-2\mu_n) - x_n\mu_{n-1}(\mu_{n-1}-2\mu_n) - \dots$ $\dots - \mu_{n-1}(\mu_n-\mu_{n-1})^2 - 3(x_n-\mu_n) \sigma_{n-1}^2 \Big]$

첨도에 대한 업데이트 공식이 여전히 열려 있습니다.