범위와 표준 편차의 관계

기사에서 표본 크기 의 표준 편차에 대한 공식을 찾았습니다.$N$

$\sigma=\frac{\overline{R}}{2.534}$

여기서 은 기본 샘플 의 하위 샘플 (크기 ) 의 평균 범위입니다 . 숫자 는 어떻게 계산됩니까? 이것은 정확한 숫자입니까?$\overline{R}$$6$$2.534$

샘플기로에서 의 분포로부터 독립 값 의 PDF와 , 극단의 조인트 분포 PDF 과 에 비례n F f min ( x ) = x [ 1 ] 최대 ( x ) = x [ n $x$$n$$F$$f$$\min(x)=x_{[1]}$$\max(x)=x_{[n]}$

(비율 상수는 다항식 계수 의 역수입니다 . 직관적으로이 조인트 PDF는 범위에서 가장 작은 값을 찾을 가능성을 나타냅니다. , 범위에서 가장 큰 값 및 범위 내 에서 중간 값 입니다. 가 연속적 일 때 , 우리는 그 중간 범위를 대체 하여 "무한"확률 만 무시할 수 있습니다. 있는[x[1],x[1]+dx[1])[x[n],x[n]+dx[n])n−2[x[1]+dx$\binom{n}{1,n-2,1} = n(n-1)$$[x_{[1]},x_{[1]}+dx_{[1]})$$[x_{[n]},x_{[n]}+dx_{[n]})$$n-2$F( x [ 1 ] , x [ n ] ]f( x [ 1 ] )d x [ 1 ] ,f( x [ n ] )d x [ n ]$[x_{[1]}+dx_{[1]}, x_{[n]})$$F$$(x_{[1]}, x_{[n]}]$$f(x_{[1]})dx_{[1]},$ $f(x_{[n]})dx_{[n]},$및 , 이제 공식의 출처를 알 수 있습니다.)$F(x_{[n]})-F(x_{[1]}),$

범위를 예상하면 표준 편차 및 정규 분포에 대해 제공 됩니다. 의 배수로 예상되는 범위 는 샘플 크기 에 따라 다릅니다 . 2.53441 σ σ N = 6 σ의 $x_{[n]} - x_{[1]}$$2.53441\ \sigma$$\sigma$$n=6$$\sigma$$n$

이러한 값은 를 에 수치 적으로 통합하여 계산되었습니다. 와 표준 정규 CDF으로 설정하고 표준 편차로 나눈 (그냥 ).{(x,y)∈R2| x≤y}FF$\binom{n}{1,n-2,1}\left(y-x\right)H_F(x,y)dxdy$$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x\le y\}$$F$$F$$1$

예상 범위와 표준 편차 사이의 유사한 곱셈 관계는 분포의 형태 만으로도 특성이 있기 때문에 모든 위치 규모 분포에 대해 유지됩니다 . 예를 들어, 균일 분포에 대한 비교 가능한 도표는 다음과 같습니다.

지수 분포 :

앞의 두 도표의 값은 숫자가 아닌 정확한 적분에 의해 얻어졌으며, 이는 각각의 경우에 비교적 간단한 대수 형태의 와 로 인해 가능합니다 . 균일 분포의 경우 와 같고 지수 분포의 경우 여기서 는 오일러 상수이고 는 오일러 감마 함수의 로그 파생 인 "폴리 감마"함수입니다.F n - $f$$F$$\frac{n-1}{(n+1)}\sqrt{12}$$\gamma + \psi(n) = \gamma + \frac{\Gamma'(n)}{\Gamma(n)}$$\gamma$$\psi$

그것들은 (이 분포가 넓은 범위의 모양을 나타 내기 때문에) 다르지만, 3은 대략 동의 하며, 곱셈기 는 모양에 크게 의존하지 않으므로 표준 편차에 대한 옴니버스, 강력한 평가로 작용할 수 있음을 보여줍니다 작은 서브 샘플의 범위가 알려진 경우. (사실, 자유도가 3 인 매우 두꺼운 꼬리가있는 스튜던트 분포는 여전히 에서 멀지 않은 대해 의 배수 집니다.)$n=6$$2.5$$t$$2.3$$n=6$$2.5$

이 근사는 실제 표본 표준 편차에 매우 가깝습니다. 나는 그것을 설명하기 위해 빠른 R 스크립트를 작성했습니다.

x = sample(1:10000,6000,replace=TRUE)

B = 100000
R = rep(NA,B)
for(i in 1:B){
    samp = sample(x,6)
    R[i] = max(samp)-min(samp)
}

mean(R)/2.534

sd(x)

결과는 다음과 같습니다.

> mean(R)/2.534
[1] 2819.238
> 
> sd(x)
[1] 2880.924

이제 왜 이것이 작동하는지 잘 모르겠지만 적어도 근사값이 (액면가) 비슷해 보입니다.

편집 : 왜 이것이 작동하는지에 대한 @Whuber의 예외적 인 의견을 참조하십시오