데이터 불확실성을 기반으로 선형 회귀 기울기의 불확실성을 계산

데이터 불확실성 (아마도 Excel / Mathematica)을 기반으로 선형 회귀 기울기의 불확실성을 계산하는 방법은 무엇입니까?

예 : 데이터 포인트 (0,0), (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), ... (8, 16)을 가지지 만 각 y 값은 불확실성 4. 내가 찾은 대부분의 함수는 점이 함수 y = 2x와 완벽하게 일치하기 때문에 불확실성을 0으로 계산합니다. 그러나 그림에 표시된 것처럼 y = x / 2도 포인트와 일치합니다. 과장된 예이지만 필요한 것을 보여주기를 바랍니다.

편집 : 조금 더 설명하려고하면 예제의 모든 지점에 특정 값 y가 있지만 사실인지 알지 못하는 척합니다. 예를 들어 첫 번째 지점 (0,0)은 실제로 (0,6) 또는 (0, -6) 또는 그 사이의 임의의 항목 일 수 있습니다. 이것을 고려하는 인기있는 문제 중 하나에 알고리즘이 있는지 묻고 있습니다. 이 예에서 점 (0,6), (1,6.5), (2,7), (3,7.5), (4,8), ... (8, 10)은 여전히 ​​불확실성 범위에 속합니다. 그래서 그것들은 올바른 점이 될 수 있고 그 점들을 연결하는 선은 다음과 같은 방정식을 갖습니다 : y = x / 2 + 6, 불확실성을 고려하지 않은 방정식은 다음 식을 갖습니다 : y = 2x + 0. 따라서 k의 불확실성 1,5이고 n은 6입니다.

TL; DR : 그림에는 최소 제곱 적합을 사용하여 계산 된 y = 2x 선이 있으며 데이터에 완벽하게 맞습니다. y = kx + n에서 얼마나 많은 k 및 n이 변경 될 수 있는지 확인하려고하지만 y 값의 불확실성을 알고 있으면 여전히 데이터에 적합합니다. 내 예에서 k의 불확실성은 1.5이고 n의 경우 6입니다. 이미지에는 '최상의'맞춤 선과 점에 거의 맞지 않는 선이 있습니다.

$k$$n$$y = k x + n$$y$

$y$$100(1-\alpha)$$(k,n)$$\sum (k x_i + n - y_i)^2/\sigma_i^2 < \chi_{d,\alpha}^2$$\sigma_i$$y_i$$d$$(x,y)$$\chi_{d,\alpha}^2$$\alpha$$d$

$y_i$$y_i$$(k,n)$$204 (k-2)^2 + 72n(k-2) + 9n^2 = 152.271$

파이썬 에서이 간단한 코드로 순진한 직접 샘플링을 수행했습니다.

import random
import numpy as np
import pylab
def uncreg(x, y, xu, yu, N=100000):
    out = np.zeros((N, 2))
    for n in xrange(N):
        tx = [s+random.uniform(-xu, xu) for s in x]
        ty = [s+random.uniform(-yu, yu) for s in y]
        a, b = np.linalg.lstsq(np.vstack([tx, np.ones(len(x))]).T, ty)[0]
        out[n, 0:2] = [a, b]
    return out
if __name__ == "__main__":
    P = uncreg(np.arange(0, 8.01), np.arange(0, 16.01, 2), 0.1, 6.)
    H, xedges, yedges = np.histogram2d(P[:, 0], P[:, 1], bins=(50, 50))
    pylab.imshow(H, interpolation='nearest', origin='low', aspect='auto',
                 extent=[xedges[0], xedges[-1], yedges[0], yedges[-1]])

그리고 이것을 얻었다 :

물론 P원하는 데이터를 채굴 하거나 불확실성 분포를 변경할 수 있습니다.

나는 전에 같은 사냥을하고 있었고 이것이 시작하기에 유용한 장소 라고 생각 합니다 . 엑셀 매크로 함수는 두 좌표의 각 포인트에 대한 테이블 포인트 및 불확실성을 기반으로 선형 피팅 항과 불확실성을 제공합니다. 어쩌면 다른 환경에서 구현할 것인지, 수정하는 등을 결정하기 위해 기반이되는 종이를 찾아 볼 수도 있습니다. (Mathematica에 대한 몇 가지 작업이 있습니다.) 표면에 대한 유용한 문서가있는 것처럼 보이지만 얼마나 주석이 달린 지 확인하기 위해 매크로를 열지 않았습니다.