다변량 베르누이 분포에 대한 확률 공식

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I는 N 변량의 이벤트의 확률에 대한 수식을 필요 베르누이 분포 주어와 확률 단일 요소 및 요소의 쌍 입니다. 마찬가지로 나는 평균과 공분산을 줄 수 있습니다. $X\in\{0,1\}^n$ $P(X_i=1)=p_i$ $P(X_i=1 \wedge X_j=1)=p_{ij}$ $X$

주어진 평균과 공분산을 갖는 많은 분포가있는 것처럼 속성을 갖는 많은 분포가 있다는 것을 이미 배웠습니다 . I가 정규 하나를 찾고 있어요 , 가우스가 정규 분포와 마찬가지로 주어진 평균과 공분산이. $\{0,1\}^n$ $\{0,1\}^n$ $R^n$

multivariate-analysis discrete-data

— mpiktas
소스

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값을 취하는 랜덤 변수 는 이산 랜덤 변수입니다. 그것의 분포는 확률 와 완전히 설명됩니다 . 및 확률 은 특정 인덱스 대한 합입니다 . $\{0,1\}^n$ $p_{\mathbf{i}}=P(X=\mathbf{i})$ $\mathbf{i}\in\{0,1\}^n$ $p_{i}$ $p_{ij}$ $p_{\mathbf{i}}$ $\mathbf{i}$

이제 및 만 사용하여 을 설명하려는 것 같습니다 . 특정 속성을 가정하지 않으면 불가능합니다 . 도출하는 것을 시도 보려면 특성 기능 의 . 우리가 을 취 하면 $p_{\mathbf{i}}$ $p_i$ $p_{ij}$ $p_{\mathbf{i}}$ $X$ $n=3$

\begin{aligned} E e^{i (t_{1} X_{1} + t_{2} X_{2} + t_{3} X_{3})} & = p_{000} + p_{100} e^{i t_{1}} + p_{010} e^{i t_{2}} + p_{001} e^{i t_{3}} \\ + p_{110} e^{i (t_{1} + t_{2})} + p_{101} e^{i (t_{1} + t_{3})} + p_{011} e^{i (t_{2} + t_{3})} + p_{111} e^{i (t_{1} + t_{2} + t_{3})} \end{aligned}

$\begin{align} Ee^{i(t_1X_1+t_2X_2+t_3X_3)}&=p_{000}+p_{100}e^{it_1}+p_{010}e^{it_2}+p_{001}e^{it_3}\\\\ &+p_{110}e^{i(t_1+t_2)}+p_{101}e^{i(t_1+t_3)}+p_{011}e^{i(t_2+t_3)}+p_{111}e^{i(t_1+t_2+t_3)} \end{align}$ 사라지 도록이 식을 재 배열 할 수 없습니다 . 가우스 랜덤 변수의 경우 특성 함수는 평균 및 공분산 파라미터에만 의존합니다. 특성 함수는 분포를 고유하게 정의하므로 평균과 공분산 만 사용하여 가우시안을 고유하게 설명 할 수 있습니다. 우리가 무작위 변수 이것은 그렇지 않습니다.

p_{i}

$p_{\mathbf{i}}$

X

$X$

— mpiktas
소스

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다음 문서를 참조하십시오.

JL Teugels, 다변량 Bernoulli 및 이항 분포의 일부 표현 , Journal of Multivariate Analysis , vol. 32 번 1990 년 2 월 2 일, 256–268.

초록은 다음과 같습니다.

Bernoulli 및 이항 분포에 대한 다변량 벡터화 버전은 행렬 미적분학의 Kronecker 제품 개념을 사용하여 설정됩니다. 다변량 베르누이 분포는 이진 변수에 대한 전통적인 로그 선형 모델의 대안을 제공하는 매개 변수화 된 모델을 수반합니다.

— 하메드
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공유해 주셔서 감사합니다, Hamed. 우리 사이트에 오신 것을 환영합니다!

— whuber

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결과 분포가 무엇인지 모르거나 이름이있는 경우 모릅니다. 그러나 이것을 설정하는 확실한 방법은 2 × 2 × 2 ×를 모델링하는 데 사용할 모델을 생각하는 것입니다 … 로그 선형 (Poisson Regression) 모형을 사용한 2 개의 테이블. 1 차 상호 작용 만 아는 것처럼, 모든 고차 상호 작용이 0이라고 가정하는 것이 당연합니다.

질문자 표기법을 사용하여 모델에

P (X_{1} = x_{1}, X_{2} = x_{2}, \dots, X_{n} = x_{n}) = \prod_{i} [p_{i}^{x_{i}} (1 - p_{i})^{1 - x_{i}} \prod_{j < i} {(\frac{p_{i j}}{p_{i} p_{j}})}^{x_{i} x_{j}}]

$P(X_1=x_1, X_2=x_2,\ldots,X_n=x_n) = \prod_i \left[ p_i^{x_i}(1-p_i)^{1-x_i} \prod_{j<i} \left(\frac{p_{ij}}{p_i p_j}\right)^{x_i x_j} \right]$

— 한 정거장
소스

이 수식에는 표기법에 문제가 있습니다 . 왼쪽과 오른쪽에 가 있습니다 . 오른쪽은 첨자 를 전혀 참조하지 않습니다 . 또한, 를 확률로 (원래 질문에서와 같이) 해석하면 rhs는 분명히 양인 반면 lh는 양수일 수 없습니다.

p

$p$

i

$\mathbf{i}$

p_{i}

$p_i$

— whuber

@whuber 아주 그렇습니다! 나는 첫 번째 문단에서 제시 한 모델을 고수하지만 내 방정식은 여러 가지 방법으로 망쳐 놓았습니다 ... MSc 이후 실제로 비상 테이블의 로그 선형 모델링을 사용하지 않았 음을 보여줍니다. 메모 나 책을 가져 왔습니다. 나는 지금 그것을 고쳤다 고 믿는다. 동의하면 알려주세요! 지연에 대한 아 폴스. 언젠가 내 뇌는 대수를하지 않습니다.

— onestop

1

나는 이것이 효과가 있다고 생각하지 않습니다. 가정 및 . 이 때 실현 확률의 유효 조합 균일 확률 변수 및 모든 . 여전히 위의 공식은 모든 이벤트에 대해 0입니다. 도와 줘서 고마워!

p_{i} = 1 / n

$p_i=1/n$

p_{i j} = 0 \forall i \neq j

$p_{ij}=0 \forall i \ne j$

I

$I$

\in {1, . . ., n}

$\in\{1,...,n\}$

X_{I} = 1

$X_I=1$

X_{j} = 0 \forall j \neq I

$X_j=0 \forall j\ne I$