상태 공간 모델에서 칼만 필터 설명

상태 공간 모델에서 칼만 필터를 사용하는 단계는 무엇입니까?

몇 가지 다른 공식을 보았지만 세부 사항에 대해서는 잘 모르겠습니다. 예를 들어 Cowpertwait 는 다음 방정식 세트로 시작합니다.

θt=Gtθt−1+w

$$y_{t} = F^{'}_{t}\theta_{t}+v_{t}$$ $$\theta_{t} = G_{t}\theta_{t-1}+w_{t}$$

여기서 및 , 는 우리가 알 수없는 추정치이며 는 관측치입니다w t ∼ N ( 0 , W t ) θ t y $\theta_{0} \sim N(m_{0}, C_{0}), v_{t} \sim N(0,V_{t})$$w_{t} \sim N(0, W_{t})$$\theta_{t}$$y_{t}$

Cowpertwait는 관련된 분포를 정의합니다 (각각 사전, 우도 및 사후 분포).

y t | θ t ~ N (

$$\theta_{t}|D_{t-1} \sim N(a_{t}, R_{t})$$ θt| Dt∼N(mt,Ct $$y_{t}|\theta_{t} \sim N(F^{'}_{t}\theta_{t}, V_{t})$$ $$\theta_{t}|D_{t} \sim N(m_{t}, C_{t})$$

와

$$\begin{eqnarray} a_{t}&= G_{t}m_{t-1}, \qquad R_{t} &= G_{t}C_{t-1}G^{'}_{t} + W_{t} \\ e_{t}&=y_{t}-f_{t}, \qquad m_{t}&=a_{t}+A_{t}e_{t} \\ f_{t}&=F^{'}_{t}a_{t}, \qquad Q_{t}&=F^{'}_{t}R_{t}F_{t}+V_{t} \\ A_{t}&=R_{t}F_{t}Q^{-1}_{t}, \qquad C_{t}&=R_{t}-A_{t}Q_{t}A^{'}_{t} \end{eqnarray}$$

그런데 은 관측 값 에서 까지 주어진 의 분포를 의미합니다 . 더 간단한 표기법은 이지만 Cowpertwait의 표기법을 사용합니다. θ t y t − 1 θ t | t - $\theta_{t}|D_{t-1}$$\theta_{t}$$y$$t-1$$\theta_{t|t-1}$

저자는 또한 예측 측면에서 에 대한 예측을 설명합니다 .$y_{t+1}|D_{t}$

$$E[y_{t+1}|D_{t}] = E[F^{'}_{t+1}\theta_{t+1} + v_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}E[\theta_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}a_{t+1} = f_{t+1}$$

내가 이해하는 한, 다음 단계는 실수 나 부정확 한 부분이 있으면 알려 주시기 바랍니다.

1. 우리는 시작 , 입니다, 우리는 우리의 추정치에 대한 값 추측 . C 0 θ $m_{0}$$C_{0}$$\theta_{0}$
2. 의 값을 예측합니다 . 즉 같아야 인 . 이기 때문에 이 알려져 있습니다. f 1$y_{1}|D_{0}$$f_{1}$a1a1=G1m$F^{'}_{1}a_{1}$$a_{1}$$a_{1} = G_{1}m_{0}$
3. 대한 예측이 있으면 오류 을 계산합니다 . e 1 = y 1 − f $y_{1}|D_{0}$$e_{1} = y_{1} - f_{1}$
4. 오류 은 및 이 필요한 사후 분포 을 계산하는 데 사용됩니다 . 은 이전 평균과 오류의 가중 합계 ( 됩니다. θ 1 | D 1 m 1 C 1 m 1 a 1 + A 1 e $e_{1}$$\theta_{1}|D_{1}$$m_{1}$$C_{1}$$m1$$a_{1} + A_{1}e_{1}$
5. 다음 반복에서는 단계와 같이 을 예측하는 것으로 시작합니다 .이 경우 입니다. 이후 와 의 기대치이다 우리가 이미 이전 단계에서 계산 한 후, 우리는 에러 계산하도록 진행할 수 과 같이 사후 분포 의 평균 . f 2 = $y_{2}|D_{1}$a2=G2m1m1θ1| D1e2θ2| D$f_{2} = F^{'}_{2}a_{2}$$a_{2} = G_{2}m_{1}$$m1$$\theta_{1}|D_{1}$$e_{2}$$\theta_{2}|D_{2}$

사후 분포 은 일부 사람들이 업데이트 단계라고 부르는 것이고 의 기대 사용은 예측 단계라고 생각합니다. y t + 1 | D $\theta_{t}|D_{t}$$y_{t+1}|D_{t}$

간결성을 위해 공분산 행렬을 계산하는 단계를 생략했습니다.

내가 놓친 것이 있습니까? 이것을 설명하는 더 좋은 방법을 알고 있습니까? 나는 이것이 여전히 다소 지저분하다고 생각하므로 더 명확한 접근법이있을 수 있습니다.

나는 당신이 말하는 것이 정확하다고 생각하며 그것이 지저분하다고 생각하지 않습니다. 이를 표현하는 방법은 칼만 필터가 현재 관측치와의 불일치에 따른 예측을 수정하는 오류 수정 알고리즘이라는 것입니다. 이 수정은 단계 4) 게인 매트릭스 사용하여 됩니다.$A_t$