첨자 표기법

측정 이론의 틀에서 조건부 기대치에서 아래 첨자 표기 의 정확한 의미는 무엇입니까 ? 이 첨자는 조건부 기대의 정의에는 나타나지 않지만 예를 들어 wikipedia의이 페이지 에서 볼 수 있습니다 . ( 몇 달 전 같은 페이지가 항상 그런 것은 아닙니다 .) $\mathbb{E}_X[f(X)]$

예를 들어 와 및 무엇입니까? $\mathbb{E}_X[X+Y]$ $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ $Y=X+1$

conditional-expectation notation

— 에밀
소스

의심의 여지없이 누군가가 공식적으로 정의를 내놓을 것입니다. 비공식적으로 모든 기대치는 명시 적으로 지정되었거나 암시 적으로 남아 있든 지간에 임의의 (다변량) 임의 변수의 분포에 대한 기대 (/ 예측)에 대한 기대입니다. 많은 경우에 명백합니다 ( 는 보다는 의미 ). 다른 경우에는 구별해야합니다. 총 분산의 법칙을 고려하십시오. 예를 들면 다음과 같습니다. .

E (X)

$\text{E}(X)$

E_{X} (X)

$\text{E}_X(X)$

E_{W} (X)

$\text{E}_W(X)$

Var [Y] = E_{X} [Var [Y ∣ X]] + {Var}_{X} [E [Y ∣ X]]

$\text{Var}[Y] = \text{E}_X\left[\text{Var}[Y\mid X]\right] + \text{Var}_X\left[\text{E}[Y\mid X]\right]$

— Glen_b

@Glen_b 총 분산 법칙에 따라 지정해야합니까? 마찬가지로 , 일부 , 그것은 분명하지 않다 초과 ?

E [Y | X] = f (X)

$E[Y|X]=f(X)$

f

$f$

Var [E [Y | X]]

$\text{Var}[E[Y|X]]$

X

$X$

— Thomas Ahle

@ThomasAhle 당신이 옳습니다. "필수"는 그 예에 비해 너무 강력했습니다. 엄밀히 말하면 명확해야하지만 독자가 작업에 익숙하지 않은 독자에게는 종종 혼동의 여지가 있기 때문에 필요한 것이 아니라 명확하게하는 것이 일반적입니다. 지정하지 않고 확신 할 수없는 기대치를 포함하는 표현이 있지만 실제로는 그 중 하나가 아닙니다.

— Glen_b

둘 이상의 임의의 변수가 관련된 식에서, 기호 만으로는 어떤 임의의 변수 가 "취득 된"예상 값 인지 에 대해 명확하지 않다 . 예를 들어 $E$

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E[h(X,Y)] =\text{?} \int_{-\infty}^{\infty} h(x,y) f_X(x)\,dx$ 또는

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{Y} (y) d y

$E[h(X,Y)] = \text{?} \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_Y(y)\,dy$

둘 다 . 많은 임의의 변수가 관련되어 있고 기호에 첨자가없는 경우 관절 분포와 관련하여 예상 값이 사용됩니다. $E$

E [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y

$E[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{XY}(x,y) \, dx \, dy$

아래 첨자가 존재할 때 ... 어떤 경우에는 어떤 변수를 조절해야하는지 알려줍니다 . 그래서

E_{X} [h (X, Y)] = E [h (X, Y) ∣ X] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{h (X, Y) ∣ X} (h (x, y) ∣ x) d h

$E_X[h(X,Y)] = E[h(X,Y)\mid X] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{h(X,Y)\mid X}(h(x,y)\mid x)\,dh$

그러나 다른 경우에는 "평균화"에 사용할 밀도를 알려줍니다.

E_{X} [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E_X[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{X}(x) \, dx$

오히려 혼란 스러울 수 있지만 누가 과학적 표기법에 모호함이나 여러 용도가 전혀 없다고 말했습니까? 각 저자가 그러한 기호의 사용을 어떻게 정의하는지 살펴 봐야합니다.

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

두 가지 질문이 있습니다. 1) 이것을 올바르게 이해하고 있는지 확실하지 않은 경우 X 또는 Y가 고정 된 경우 기대를 처음 두 방정식 중 하나로 해석 할 수 있습니까? 2) EQ 4와 EQ 5의 예를 들어 줄 수 있습니까? 나는 그것들을 해석하는 데 어려움을 겪고 있으며 구체적인 예가 도움이 될 것이라고 생각합니다. 감사!

— 천장 고양이

@ceiling 고양이 1) 본질적으로 않기 때문에 정확 하지 가 더 이상 두 개의 임의 변수. 마찬가지로 를 에 고정 시킵니다.

E [h (X, \bar{y})] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, \bar{y}) f_{X} (x) d x

$E[h(X,\bar y)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x,\bar y) f_X(x)dx$

X

$X$

\bar{x}

$\bar x$

— Alecos Papadopoulos

@ceiling cat 2) -EQ5 : . 는 임의의 변수입니다 (적절한 지원을 위해). 그런 다음 표기법에 대한 특정 의미를 사용하여 여기서 는 의 밀도 (그것이 무엇이든)입니다. 분명히 는 통합되지 않고 그대로 유지됩니다. 그러나 결과는 얻을 것입니다 ' t는 (내 이전 코멘트에서와 같이) 수 있지만, 확률 변수 (의 함수 하기 때문에) 여기 없습니다 그냥 통합하지 고정.

Z = X^{2} (Y - (Y + 2)^{3}) = h (X, Y)

$Z = X^2(Y-(Y+2)^3) = h(X,Y)$

Z

$Z$

E_{X} (Z) = E_{X} [(h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} (y - (y + 2)^{2}) f_{X} (x) d x

$E_X(Z)=E_X[(h(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(y-(y+2)^2) f_{X}(x)dx$

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

X

$X$

Y

$Y$

Y

$Y$

Y

$Y$

— Alecos 파파도풀로스

@ceiling cat 이전 두 주석에서 두 가지 경우 모두 수학적 계산의 "역학"이 동일합니다. 최종 결과는 다르게 해석됩니다.

— Alecos Papadopoulos

@ceiling cat 2) -EQ4 : 동일한 랜덤 변수 고려하십시오 . 에 대한 조건부 예상 값 은 (약칭 표기법에 다른 의미 사용) . 여기서 와 는 integrand에 직접 나타나지 않습니다 . 기호 에서 "축합"됩니다 .

Z

$Z$

X

$X$

E_{X} [Z] = E (Z ∣ X) = \int_{- \infty}^{\infty} z f_{Z | X} (z ∣ x) d z

$E_X[Z] = E(Z\mid X) = \int_{-\infty}^{\infty} z f_{Z|X}(z\mid x)dz$

x

$x$

y

$y$

z

$z$

— Alecos Papadopoulos