IID 랜덤 변수의 합의 추정치 예상 (Cambridge University 워크 시트)

기본 확률에 대한 적절한 지식이 필요한 인터뷰를 준비 중입니다 (적어도 인터뷰 자체를 통과해야 함). 나는 학생 시절부터 아래 시트를 개정으로 일하고 있습니다. 대부분 매우 간단했지만 질문 12에 완전히 빠져 들었습니다.

http://www.trin.cam.ac.uk/dpk10/IA/exsheet2.pdf

도움을 주시면 감사하겠습니다.

편집 : 질문은 다음과 같습니다

가 독립적으로 및 갖는 동일하게 분포 된 양의 랜덤 변수 라고 가정하십시오 . 하자 . 확인이 때 및 때 .$X_1, X_2, ...$$\mathbb{E}(X_1) = \mu < \infty$$\mathbb{E}(X_1^{-1}) < \infty$$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$$m<=n$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = 1 + (m-n)\mu\mathbb{E}(S_n^{-1}))$$m>=n$

실제로 이것을 입력하는 과정에서 두 번째 부분을 해결했습니다.

용 ,$m>=n$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}(X_1+ . . . +X_m)/\mathbb{E}(X_1+ . . . +X_n)$

$=\mathbb{E}(1 + (X_{n+1} + ... + X_m)/(X_1 + ... + X_n))$

위의 비율의 분자와 분모는 분명히 독립적입니다.

$= 1 + \mathbb{E}(X_{n+1} + ... + X_m)\mathbb{E}(S_n^{-1})$

원하는 결과를 얻습니다.

그래도 여전히 첫 부분에 붙어 있습니다.

의 동일한 사본 을 추가하는 것은 매우 영리합니다! 그러나 우리 중 일부는 그렇게 영리하지 않으므로 큰 아이디어를 "무엇을해야할지 더 분명한 단계로 연기"하는 것이 좋습니다. 어디서부터 시작해야할지 모른 채 대칭 이 실제로 중요 할 수 있는 몇 가지 단서 가 있습니다 (더하기는 대칭이며 일부 요약이 있으며 iid 변수는 동일한 기대 값을 가지므로 유용한 방법으로 교체되거나 이름을 바꿀 수 있습니다). 실제로이 질문의 "열심 한"부분 은 대칭 이 아닌 연산을 나누는 방법 입니다. 합의 대칭을 어떻게 활용할 수 있습니까? 기대의 선형성에서 우리는 다음을 가지고 있습니다.$n$$S_m/S_n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_m}{X_1 + ... + X_n}\right) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_m}{X_1 + .... + X_n}\right)$

그러나 가 iid이고 이라는 점을 고려할 때 대칭 측면에서 오른쪽의 모든 항은 동일합니다! 왜? 대해 및 의 레이블을 전환하십시오 . 분모 스위치 위치의 두 항이지만 재정렬 후에도 여전히 합산되는 반면 분자는 에서 변경됩니다 . 따라서 입니다. 하자 기록 에 대한 하고 있기 때문에 우리가 이러한 용어 .$X_i$$m \le n$$X_i$$X_j$$i, j \le n$$S_n$$X_i$$X_j$$\mathbb{E}(X_i/S_n) = \mathbb{E}(X_j/S_n)$$\mathbb{E}(X_i/S_n)=k$$1 \le i \le n$$m$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = mk$

인 것처럼 보이며 올바른 결과를 생성합니다. 그러나 그것을 증명하는 방법? 우린 알아$k=1/n$

$k=\mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right)=\mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right)=...=\mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$

이 단계에서만 나에게 새벽을 얻었습니다.

$nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + \mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$ $\implies nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_n}{X_1 + .... + X_n}\right) = \mathbb{E}(1) = 1$

이 방법의 좋은 점은 질문의 두 부분의 통일성을 유지한다는 것입니다. 일 때 조정이 필요한 대칭이 깨지는 이유 는 기대의 선형성을 적용한 후 오른쪽의 항이 분자 의 가 분모의 합 인지 여부에 따라 두 가지 유형이기 때문입니다 . (전과 같이 와 의 레이블을 모두 분모에 표시하면 합계 재정렬 하거나 합계가 변경되지 않은 상태로 두지 않으면 모두 합을 변경하지 않지만 둘 중 하나가 아닌 경우 레이블을 전환 할 수 있습니다 에 분모의 변화 측면과 더 이상 금액의 .)를 들어 우리는이$m>n$$X_i$$X_i$$X_j$$S_n$$S_n$$i \le n$$\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=k$ 그리고 경우 입니다. 우리가 가지고 있기 때문에 이전의 용어를, 그리고 후자의,$i>n$$\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=r$$n$$m-n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = nk + (m-n)r = 1 + (m-n)r$

그런 다음 찾는 것은 과 대해 독립성을 사용하여 간단합니다 .$r$$S_n^{-1}$$X_i$$i>n$$r=\mathbb{E}(X_i S_n^{-1})=\mathbb{E}(X_i) \mathbb{E}(S_n^{-1})=\mu \mathbb{E}(S_n^{-1})$

따라서 두 부분 모두에 동일한 "트릭"이 적용되며 경우 두 가지 경우 만 처리 합니다. 나는 이것이 질문의 두 부분 이이 순서로 주어진 이유라고 생각합니다.$m>n$

첫 번째 부분에 대한 힌트를 얻은 whuber에게 감사드립니다.

의 경우 을 고려하십시오.$nS_m/S_n$$m<=n$

우리는이$\mathbb{E}(nS_m/S_n) = \mathbb{E}((nX_1 + . . . + nX_m)/(X_1 + . . . + X_n))$

$= \mathbb{E}(nX_1/X_1 + . . . + X_n) + . . . + \mathbb{E}(nX_m/X_1 + . . . + X_n)$

iid 속성에 따르면 다음과 같습니다.

$m\mathbb{E}((X_1+ . .+ X_n)/(X_1+ . . . + X_n)) = m$

따라서 위한$\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$$m<=n$