연속 랜덤 변수가 고정 소수점을 가정 할 확률

연속 랜덤 변수에 대한 확률 밀도 함수가 로 정의 된 입문 통계 클래스에 있습니다. 의 적분을 이해 하지만 연속 임의 변수의 직관으로이를 수정할 수는 없습니다. X가 열차가 도착하는 시간 t에서 분 수와 같은 임의 변수라고 가정하십시오. 기차가 정확히 5 분 후에 도착할 확률을 어떻게 계산합니까? 이 확률은 어떻게 제로가 될 수 있습니까? 불가능합니까? 기차 가 지금부터 정확히 5 분 동안 도착하면 확률이 0이면 어떻게 될 수 있습니까?$P\left\{X\in B\right\}=\int_B f\left(x\right)dx$$\int\limits_a^af(x)dx=0$

감사.

당신은 '제로로부터 5 분'에 관한 함정에 빠질 수 있습니다.

연속 가변 의미에서 "지금부터 5 분"은 진정으로 순간적입니다.

다음 열차의 도착이 8시에서 8시 15 분 사이에 균등하게 분포되어 있다고 상상해보십시오. 또한 열차 의 정면이 역의 특정 지점을 통과하는 순간에 발생하는 것으로 열차 의 도착을 정의한다고 상상해보십시오 (아마도 더 나은 랜드 마크가 없다면 플랫폼의 중간 지점). 다음과 같은 확률 시퀀스를 고려하십시오.

a) 열차가 8:05에서 8:10 사이에 도착할 확률

b) 열차가 8:05에서 8:06 사이에 도착할 확률

c) 열차가 8 : 05 : 00 ~ 8 : 05 : 01 사이에 도착할 확률

d) 열차가 8 : 05 : 00 ~ 8 : 05 : 00.01 사이에 도착할 확률 (즉, 100 분의 1 초의 공간)

e) 열차가 8:05에서 10 억분의 1 초 후에 도착할 확률

f) 8시 5 분에서 1 초 후 1 조분의 1 초 사이에 열차가 도착할 확률

... 등등

그것이 정확하게 도착할 확률 에 8시 5분 그런 확률 시퀀스의 한계 값이다. 확률은 모든 보다 작습니다 .$\epsilon>0$

기차가 지금부터 정확히 5 분 동안 도착하면 확률이 0이면 어떻게 될 수 있습니까?

확률 론적 진술은 사건 의 가능성 / 타당성 에 관한 진술이 아니다 . 그것은 일어나는 것에 대한 우리의 불확실성을 정량화하려는 우리의 시도만을 반영합니다. 따라서 현상이 연속적 일 때 (또는 하나의 모형으로 표현 될 때) 우리의 도구와 현재 지식 상태 는 특정 가치를 취하는 것에 대한 확률 론적 진술을 할 수 없습니다 . 우리는 범위 와 관련된 진술 만 할 수 있습니다값. 물론 여기에서 일반적인 트릭은 단일 값이 아닌 "작은"간격의 값을 고려하여 지원을 분리하는 것입니다. 연속 난수 변수는 불연속 난수 변수에 비해 큰 이점과 유연성을 제공하기 때문에 지불해야 할 간격만큼 작은 비용을 지불해야합니다.

위의 내용을 이해하려면 다음과 같은 실험을 해보십시오.

눈금자로 0 주위에 실제 선을 그립니다. 이제 날카로운 다트를 가지고 무작위로 선에서 떨어지도록하십시오 (항상 줄을 치고 측면 위치만이 논쟁의 여지가 있다고 가정합시다).

그러나 여러 번 다트가 무작위로 선에 떨어지게되면 포인트 0에 절대 도달하지 않습니다. 왜? 포인트 0이 무엇인지, 너비가 무엇인지 생각하십시오. 그리고 너비가 0이라는 것을 알고 난 후에도 여전히 맞을 수 있다고 생각합니까?

당신은 포인트 1 또는 -2를 칠 수 있습니까? 아니면 그 문제에 대해 다른 점을 선택하셨습니까?

수학으로 돌아 가기 위해, 이것은 실제 세계와 실수와 같은 수학적 개념 (제 예제에서 실제 선으로 표시됨)의 차이입니다. 확률 이론은 강의에서 볼 수있는 것보다 확률의 정의가 약간 더 복잡합니다. 사건 확률과 결과 조합을 수량화하려면 확률 측정이 필요합니다. 양쪽 보렐 측정 및 르 베그 측정은 : 같은 실제 라인 간격 [A, B]에 대해 정의 된 이 정의에서 당신은 당신이를 줄일 경우 확률로 일어나는 볼 수 있습니다 숫자 간격 (설정 a = b).

결론은 확률 이론에 대한 현재 정의 (콜 로모 로프 (Kolmogorov)로 돌아가는 날짜)에 근거하여 사건에 0 확률이 있다는 사실이 사건이 발생할 수 없다는 것을 의미하지는 않습니다.

그리고 기차를 가지고있는 당신의 모범이가는 한, 당신이 무한히 정확한 시계를 가지면, 기차는 정시에 도착하지 않을 것입니다.

확률 분포는 면적이 단일해야합니다. 측정 값이 연속적이면 측정 할 수있는 무한한 수의 값이 있습니다 (즉, 분포의 x 축을 따라 무한한 수의 값). 확률 분포의 총 면적이 유한 할 수있는 유일한 방법은 각 무한 수의 값이 0이되는 것입니다. 하나는 무한대로 나눈 것입니다.

'실제 생활'에는 무한한 수의 값을 취하는 측정 값이 없으며 (여기서는 중요하지 않은 여러 가지 다른 철학적 주장에 의해), 값이 정확히 0이 될 필요는 없습니다. 유용한 실제 주장은 실제 측정의 유한 정밀도를 기반으로합니다. 1/10 초까지 측정되는 스톱워치를 사용하는 경우 열차는 1 분의 1 초의 시간을 '정확하게'5 분 안에 도착합니다.

$A$$A$

나는 OP가 의견에서 말한 다른 것을 희망적으로 다루기 위해 이것을 쓰고 있습니다.

당신은 "당신은 절대 0 점에 도달하지 않을 것"이라고 말하지만, 내가 첫 번째 다트 던지기에서 맞은 점에 대해 무엇을 말할 수 있습니까? 내가 맞은 지점을 𝑥로하자. 내 다트를 던지기 전에 "넌 절대 point을 치지 않을 것"이라고 말했을 것입니다. 그러나 나는 단지 그것을 쳤습니다. 이제 뭐?

$(\Omega, A, \mu)$$\Omega$$\mathbb{R}$$\mathbb{Z}$$\mathbb{R}$$\mu$$\mu(\Omega) = 1$$([a,b], \text{all half open intervals on $[a,b]$}, \nu)$$\nu$$\nu( [c,d) ) = \frac{1}{d - c}$$x \in [a,b]$$\mathcal{F} = \{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0}$$A$$\mathcal{F}_t \subseteq \mathcal{F}_s$$t < s$