나는

하자 확률 공간상의 임의의 가변적 .show 즉$X:\Omega \to \mathbb N$$(\Omega,\mathcal B,P)$

$$E(X)=\sum_{n=1}^\infty P(X\ge n).$$

에서 내 정의 동일 $E(X)$

$$E(X)=\int_\Omega X \, dP.$$

감사.

이산 대한 정의 는 입니다.$E(X)$$X$$E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$

$$P( X \ge i ) = P( X = i ) + P( X = i + 1 ) + \cdots$$

그래서

$$\begin{align} & \sum_i P( X \ge i ) = P( X \ge 1 ) + P( X \ge 2 ) + \cdots \\[8pt] = {} & P( X = 1 ) + P( X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots + P(X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots \end{align}$$

(우리는 마지막 표현에서 용어를 재 배열합니다)

$$\begin{align} & = 1 \cdot P( X = 1 ) + 2 \cdot P( X = 2 ) + 3 \cdot P( X = 3 ) + \cdots \\[8pt] & = \sum_i i \cdot P( X = i ) \end{align}$$

청

나는 1 월의 답변을 좋아한다. 눈이 재배치를 더 쉽게 잡을 수 있도록 시리즈를 적을 수있는 방법을 제안해도 되겠습니까 (칠판에 쓰고 싶은 방식입니다)? (재 배열은일련의 긍정적 인 용어이기 때문에 수학적으로 건전합니다.)

$$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty P(X\geq k) &=& \quad P(X\geq 1) \quad=\quad P(X=1)&+&P(X=2)&+&P(X=3) &+& \;\dots\\ &+& \quad P(X\geq 2) &+& P(X=2) &+&P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad P(X\geq 3) && &+& P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad\quad\;\; \dots && &&&+& \;\dots\\ \end{eqnarray}$$

나는 이것을하는 표준 방법은 글을 쓰는 것이라고 생각합니다.

$$X =\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)$$

$$E(X) =E\left(\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)\right)$$

그리고 기대와 합계의 순서를 반대로 (토 넬리의 정리에 의해)

여기 seanv507 의 다른 훌륭한 답변 중 하나는 이 기대 규칙이 기본 랜덤 변수를 무한한 지표 변수 합계로 표현하는 더 강한 결과 에서 나온다는 점을 지적했습니다. 보다 일반적인 결과를 증명하는 것이 가능하며 이는 질문에서 기대 규칙을 얻는 데 사용될 수 있습니다. 만약 $X: \Omega \rightarrow \mathbb{N}$ 다음 (아래 증거)이 표시 될 수 있습니다 (그 지원은 자연수보다 더 넓은 없도록) :

$$X = \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \quad \quad \quad \text{for all } m \in \mathbb{N}.$$

$m \rightarrow \infty$ 를 취 하면 유용한 결과가 나타납니다.

$$X = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{I}(X \geqslant n).$$

이 결과는 그 순간뿐만 아니라 근본적인 무작위 변수에 대한 분해를 제공하기 때문에 문제의 기대 규칙보다 강력하다는 점에 주목할 가치가 있습니다. 다른 답변에서 언급 했듯이이 방정식의 양측에 대한 기대를 취하고 Tonelli의 정리 (합계와 기대 연산자의 순서를 바꾸는 데 적용)를 적용하면 문제의 기대 규칙이 제공됩니다. 이는 음수가 아닌 임의 변수를 처리 할 때 사용되는 표준 기대 규칙입니다.

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위의 결과는 매우 간단하게 입증 될 수 있습니다. 다음을 관찰하여 시작하십시오.

$$X = \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \text{countable times}}.$$

$m \in \mathbb{N}$

$$\begin{equation} \begin{aligned} X &= \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \max(0,m-X) \text{ times}} \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=1}^{\max(0,m-X)} \mathbb{I}(X \geqslant X+ n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=X+1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) . \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}.$$