이것은 매우 기본적인 질문입니다. 카이 제곱 분포를 사용하는 이유는 무엇입니까? 이 배포판의 의미는 무엇입니까? 이 분포가 분산에 대한 신뢰 구간을 만드는 데 사용되는 이유는 무엇입니까?

내가 설명은 구글 모든 장소는 카이를 사용하는 경우를 설명하지만, 설명하지,이 사실을 제시 하는 이유 카이를 사용하고,이 방법을 보이는 이유는 않습니다.

올바른 방향으로 나를 가리킬 수있는 사람 덕분에 많은 덕분에-분산에 대한 신뢰 구간을 만들 때 왜 chi를 사용하는지 이해합니다.

빠른 답변

그 이유는 데이터가 iid 및 이고 ˉ X를 정의 한다고 가정하기 때문입니다.$X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$ 신뢰 구간을 형성 할 때, 샘플의 분산 (와 연관된 샘플링 분포S2!, 랜덤 변수 기억)는 카이 제곱 분포이다 ((S)2-(N-1)/σ2~χ2N-1), 표본 평균과 연관된 표본 분포가 표준 정규 분포(ˉX−μ) 인것처럼

$$\begin{eqnarray*} \bar{X}&=&\sum^N \frac{X_i}{N}\\ S^2 &=& \sum^{N} \frac{(\bar{X}-X_i)^2}{N-1} \end{eqnarray*}$$ $S^2$$S^2(N-1)/\sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}$분산을 아는 경우 n /σ∼Z(0,1),모르는 경우 t- 학생( ˉ X −μ)$(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}/\sigma \sim Z(0,1)$ ).$(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}/S \sim T_{n-1}$

긴 대답

우선, 우리는 증명할 것 와 카이 제곱 분포 다음과 N - 1 개 자유도. 그 후에 분산에 대한 신뢰 구간을 도출 할 때이 증명이 어떻게 유용한 지, 카이 제곱 분포가 어떻게 나타나는지 (그리고 이것이 왜 유용한 지) 알게 될 것입니다. 의 시작하자.$S^2(N-1)/\sigma^2$$N-1$

증거

이를 위해이 위키피디아 기사 에서 카이-제곱 분포에 익숙해 져야 할 것 입니다. 이 분포는 하나의 매개 변수를 가지고 자유의도 하고 순간 발생 기능에 의해 주어진다 (MGF)이 일어나는 : m χ 2 ν ( t ) =을 ( 1 - 2 t ) - ν / 2 . 우리가 S 2 ( N - 1 ) / σ 2 의 분포가 이와 같은 모멘트 생성 기능을 가지고 있지만 ν $\nu$

$$\begin{equation*} m_{\chi^2_\nu}(t)=(1-2t)^{-\nu/2}. \end{equation*}$$ $S^2(N-1)/\sigma^2$ 이면 S 2 ( N - 1 ) / σ 2 가 N - 1 자유 도로카이 제곱 분포를 따르는것으로 나타났습니다. 이것을 보여주기 위해 두 가지 사실에 주목하십시오.$\nu=N-1$$S^2(N-1)/\sigma^2$$N-1$

1. 우리가 정의하면 여기서Zi∼N(0,1), 즉 표준 정규 확률 변수,Y의 모멘트 생성 함수는 m Y (t)로주어진다

   $$\begin{equation*} Y = \sum \frac{(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2} = \sum Z_i^2, \end{equation*}$$ $Z_i\sim N(0,1)$$Y$Z2 의 MGF는 m Z 2 ( t )로 주어집니다 $$\begin{eqnarray*} m_Y(t) &=& \mathbb{E}[e^{tY}]\\ &=&\mathbb{E}[e^{tZ_1^2}]\times \mathbb{E}[e^{tZ_2^2}]\times ...\mathbb{E}[e^{tZ_N^2}]\\ &=&m_{Z_i^2}(t)\times m_{Z_2^2}(t)\times ...m_{Z_N^2}(t). \end{eqnarray*}$$ $Z^2$ I는 표준 정규의 PDF 사용한F(Z)=E- (Z) 2 / 2/ $$\begin{eqnarray*} m_{Z^2}(t) &=& \int_{-\infty}^{\infty} f(z)\exp(tz^2)dz\\ &=&(1-2t)^{-1/2}, \end{eqnarray*}$$ 하고, 따라서, mY(t)=(1-2t) - N / 2 ,것을 의미Y를갖는 카이 제곱 분포 이하N의자유도.$f(z)=e^{-z^2/2}/\sqrt{2\pi}$ $$\begin{equation*} m_Y(t)=(1-2t)^{-N/2}, \end{equation*}$$ $Y$$N$

2. $Y_1$$Y_2$$\nu_1$$\nu_2$$W=Y_1+Y_2$$\nu_1+\nu_2$$W$

$N-1$

$$\begin{equation*} (N-1)S^2 = -n(\bar{X}-\mu)+\sum(X_i-\mu)^2, \end{equation*}$$ $\sigma^2$ $$\begin{equation*} \frac{(N-1)S^2}{\sigma^2}+\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2/N}=\sum \frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}. \end{equation*}$$ $N$$S^2(N-1)/\sigma^2$$N-1$

분산에 대한 신뢰 구간 계산

$L_1$$L_2$

$$\begin{equation*} \mathbb{P}\left(L_1\leq \sigma^2 \leq L_2\right) = 1-\alpha. \end{equation*}$$ $S^2(N-1)$ $$\begin{equation*} \frac{L_1}{S^2(N-1)}\leq \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} \leq \frac{L_2}{S^2(N-1)}. \end{equation*}$$ $S^2(N-1)/\sigma^2$$N-1$ $$\begin{eqnarray*} \frac{L_1}{S^2(N-1)}\leq \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} &\Rightarrow& \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2}\leq \frac{S^2(N-1)}{L_1},\\ \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} \leq \frac{L_2}{S^2(N-1)} &\Rightarrow& \frac{S^2(N-1)}{L_2} \leq \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2},\\ \end{eqnarray*}$$ $$\begin{equation*} \mathbb{P}\left(\frac{S^2(N-1)}{L_2} \leq \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2}\leq \frac{S^2(N-1)}{L_1}\right) = 1-\alpha. \end{equation*}$$ $S^2(N-1)/\sigma^2 \sim \chi^2(N-1)$ $$\begin{eqnarray*} \int_{\frac{S^2(N-1)}{L_2}}^{N-1}p_{\chi^2}(x)dx &=& (1-\alpha)/2\ \ \ ,\\ \int_{N-1}^{\frac{S^2(N-1)}{L_1}}p_{\chi^2}(x)dx &=& (1-\alpha)/2\ \ \, \end{eqnarray*}$$ (우리는 까지 통합$N-1$ because the expected value of a chi-squared random variable with $N-1$ degrees of freedom is $N-1$) or, equivalently, $$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{S^2(N-1)}{L_2}}p_{\chi^2}(x)dx=\alpha/2,\\ \int_{\frac{S^2(N-1)}{L_1}}^{\infty}p_{\chi^2}(x)dx=\alpha/2. \end{eqnarray*}$$ Calling $\chi^2_{\alpha/2}=\frac{S^2(N-1)}{L_2}$ and $\chi^2_{1-\alpha/2}= \frac{S^2(N-1)}{L_1}$, where the values $\chi^2_{\alpha/2}$ and $\chi^2_{1-\alpha/2}$ can be found in chi-square tables (in computers mainly!) and solving for $L_1$ and $L_2$, $$\begin{eqnarray*} L_1 &=& \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{1-\alpha/2}},\\ L_2 &=& \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{\alpha/2}}. \end{eqnarray*}$$ Hence, your confidence interval for the variance is $$\begin{equation*} C.I.=\left(\frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{1-\alpha/2}}, \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{\alpha/2}}\right). \end{equation*}$$