다중 회귀 또는 부분 상관 계수? 그리고 둘 사이의 관계

이 질문이 의미가 있는지조차 모르겠지만 다중 회귀와 부분 상관의 차이점은 무엇입니까 (상관하지 않는 상관 관계와 회귀의 차이점은 제외)?

다음을 알아 내고 싶습니다
.2 개의 독립 변수 ( , x 2 )와 하나의 종속 변수 ( y )가 있습니다. 이제 개별 변수는 종속 변수와 상관 관계가 없습니다. 그러나 주어진 x 1에 대해 x 2가 감소 하면 y 는 감소합니다. 다중 회귀 또는 부분 상관 관계 분석을 통해이를 분석 합니까?$x_1$$x_2$$y$$x_1$ $y$$x_2$

내 질문을 희망적으로 개선하기 위해 편집하십시오 . 다중 회귀와 부분 상관의 차이점을 이해하려고합니다. 그래서 때 주어진 위해 감소 X 1 , X 2 개 , 감소하다의 조합 된 효과로 인해 , X 1 및 X 2 의 예 (회귀) 또는 그것이 의한 효과 제거하는 X 1 (부분 상관)?$y$$x_1$$x_2$$x_1$$x_2$$y$$x_1$

다중 선형 회귀 계수와 부분 상관 관계는 직접 연결되어 있으며 동일한 의미 (p- 값)를 갖습니다. 부분 r 은 베타 계수 (표준 회귀 계수) 1 와 함께 계수를 표준화하는 또 다른 방법입니다 . 따라서 종속 변수가 y 이고 독립 변수가 x 1 및 x 2 이면$^1$$y$$x_1$$x_2$

$$\text{Beta:} \quad \beta_{x_1} = \frac{r_{yx_1} - r_{yx_2}r_{x_1x_2} }{1-r_{x_1x_2}^2}$$

$$\text{Partial r:} \quad r_{yx_1.x_2} = \frac{r_{yx_1} - r_{yx_2}r_{x_1x_2} }{\sqrt{ (1-r_{yx_2}^2)(1-r_{x_1x_2}^2) }}$$

분자가 같으므로 두 수식 모두 x 1 의 동일한 고유 효과 를 측정합니다 . 두 공식이 구조적으로 어떻게 동일하고 어떻게 다른지 설명하려고 노력할 것입니다.$x_1$

세 가지 변수 모두에 z 표준화 (평균 0, 분산 1) 가 있다고 가정 합니다. 분자는 두 종류의 공분산 같다 잔차 제 (a) 잔차 예측 남아 하여 X 2 [두 변수 표준] 및 예측에서 왼쪽 (b) 잔류 X (1) 에 의해 X (2) [모두 변수 표준] . 또한, 잔차 (a)의 분산은 1 - r 2 y x 2 이고; 잔차 (b)의 분산은 1 - r 2 x 1 x 2 입니다.$y$$x_2$$x_1$$x_2$$1-r_{yx_2}^2$$1-r_{x_1x_2}^2$

의 수식 부분 상관은 다음 명확 일반 피어슨의 식 표시 피어슨 : 잔차 (a) 및 잔차 (b) 사이에서이 경우에 계산 된 바와 같이, R , 우리가 아는 공분산의 기하 평균 인 분모로 나누어, 두 가지 다른 분산.$r$$r$

표준화 된 계수 베타 는 구조적으로 Pearson 과 유사 하지만 분모 만 자체 자기 분산의 기하 평균이라는 것입니다 . 잔차의 분산 (a)는 계산되지 않았다; 잔차 분산의 두 번째 카운팅으로 대체되었습니다 (b). 따라서 베타는 두 잔차의 공분산이 두 잔차 중 하나의 분산 (특히, 관심있는 예측 변수에 속하는 것 x 1 )에 대한 분산입니다 . 이미 알려진 바와 같이 부분 상관 관계 는 하이브리드 분산에 대한 동일한 공분산 입니다. 두 유형의 계수는 다른 예측 변수의 환경에서 x 1 의 효과를 표준화하는 방법 입니다.$r$$x_1$$x_1$

$y$$x_1$$x_2$$r_{yx_1.x_2}$y <- x2x1 <- x2$x_2$$y$ $x_2$$x_1$$y$$x_1$$x_2$$x_2$$y$$1-r_{yx_2}^2$$x_1$$1-r_{x_1x_2}^2$$r_{yx_1.x_2}$$\beta_{x_1}$$y$$y$

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$x_1,x_2,x_3,...$

$$r_{yx_1.X} = \beta_{x_1} \sqrt{ \frac {\text{var} (e_{x_1 \leftarrow X})} {\text{var} (e_{y \leftarrow X})}},$$

$X$$x_1$$e_{y \leftarrow X}$$y$$X$$e_{x_1 \leftarrow X}$$x_1$$X$

$y$$x$

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$^1$ $\beta_{x_1} = b_{x_1} \frac {\sigma_{x_1}}{\sigma_y}$$b$$\beta$

$\beta_{x_1}$$\sqrt{SSY/SSX_1}$

$$\beta_{x_1} = \frac{r_{yx_1} - r_{y x_2} ~r_{x_1 x_2}} {1-r^2_{x_1 x_2}} \times \sqrt{\frac{SSY}{SSX_1}},$$ $SSY=\sum_i (y_i-\bar y)^2$$SSX_1 = \sum_i {(x_{1i} - \bar{x}_1)^2}$