정규 표본에서 최소 주문 통계량의 예상 값

2014 년 1 월 25 일 업데이트 : 실수가 수정되었습니다. 업로드 된 이미지에서 예상 값의 계산 된 값을 무시하십시오. 잘못되었습니다.이 질문에 대한 답변이 생성되었으므로 이미지를 삭제하지 않습니다.

2014 년 1 월 10 일 업데이트 : 사용 된 소스 중 하나의 수학 오타가 있습니다. 수정 준비 중 ...

컬렉션에서 최소 순서 통계량 밀도 CDF 연속 확률 변수를 IID 및 PDF 있다 $n$$F_X(x)$$f_X(x)$

$$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = nf_X(x_{(1)})\left[1-F_X(x_{(1)})\right]^{n-1} \qquad [1]$$

이 임의의 변수가 표준 정규 인 경우

$$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = n\phi(x_{(1)})\left[1-\Phi(x_{(1)})\right]^{n-1} = n\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}\qquad [2]$$ 이므로 예상 값은 $$E\left(X_{(1)}\right) = n\int_{-\infty}^{\infty}x_{(1)}\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}dx_{(1)}\qquad [3]$$

여기서 우리는 표준 법선의 대칭 속성을 사용했습니다. 에서는 오웬 1,980 ., p.402 식 [ N, 011 ] 우리하다고 생각

$$\int_{-\infty}^{\infty}z\phi(z)\left[\Phi(az)\right]^m dz= \frac {am}{(\sqrt {a^2+1})(\sqrt {2\pi})}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(z)\left[\Phi\left(\frac {az}{\sqrt {a^2+1}}\right)\right]^{m-1}dz\qquad [4]$$

방정식 과 사이의 일치하는 매개 변수 ( , )$[3]$$[4]$$a=-1$$m=n-1$

$$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x_{(1)})\left[\Phi\left(\frac {-x_{(1)}}{\sqrt 2}\right)\right]^{n-2}dx_{(1)}\qquad [5]$$

Owen 1980에서 다시, p. 409, eq [ n0,010.2 ] 우리는

$$\int_{-\infty}^{\infty}\left[\prod_{i=1}^{m}\Phi\left(\frac{h_i-d_iz}{\sqrt {1-d_i^2}}\right)\right] \phi(z)dz= \mathcal Z_m(h_1,...,h_m;\{\rho_{ij}\})\qquad [6]$$

여기서 은 표준 다변량 법선입니다. 는 상관 계수 및 입니다.$\mathcal Z_m()$$\rho_{ij}=d_id_j,\; i\neq j$$-1\le d_i\le 1$

매칭 및 우리가, , 및 $[5]$$[6]$$m=n-2$$h_i=0,\;\forall i$

$$\frac{d_i}{\sqrt {1-d_i^2}} = \frac 1{\sqrt 2} \Rightarrow d_i = \pm \frac 1{\sqrt 3} \forall i \Rightarrow \rho_{ij} = \rho = 1/3$$

이 결과를 사용하면 식 는$[5]$

$$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)\qquad [7]$$

동등 상관 변수의 다변량 표준 정규 확률 적분은 모두 0으로 평가되었으며 , 충분한 조사가 이루어졌으며이를 근사하고 계산하는 다양한 방법이 도출되었습니다. 광범위한 검토 (일반적으로 다변량 정규 확률 적분의 계산과 관련됨)는 Gupta (1963) 입니다. Gupta는 다양한 상관 계수 및 최대 12 개의 변수에 대한 명시적인 값을 제공합니다 (따라서 14 개의 변수 컬렉션을 포함 함). 결과는 (마지막 열이 잘못되었습니다) :

우리의 값이 어떻게 그래프 지금 경우 으로 변경 우리 얻$\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)$$n$

그래서 나는 세 가지 질문 / 요청에 도달한다.
1) 누군가가 분석적으로 확인하거나 시뮬레이션을 통해 기대 값에 대한 결과가 정확한지 (즉, eq 의 유효성을 검사 할 수 있는가) 확인할 수 있는가?$[7]$

2) 접근 방식이 올바르다 고 가정하면 누군가가 평균이 아닌 평균과 비 균일 분산을 갖는 법선에 대한 솔루션을 제공 할 수 있습니까? 모든 변형으로 나는 정말 어지럽습니다.

3) 확률 적분의 가치는 순조롭게 진화하는 것으로 보인다. 일부 함수로 근사하면 어떻습니까?$n$

결과가 정확하지 않습니다. 표에서 표본 크기 따라 증가 하기 때문에 계산 없이도 쉽게 확인할 수 있습니다 . 샘플 크기 이 클수록 샘플 최소값의 예상 값은 작아 져야합니다 (즉, 음수가 됨) .$E[X_{(1)}]$ $n$$n$

문제는 개념적으로 매우 쉽습니다.

간단히 말하면 : pdf 하여 ~ 경우 :$X$$N(0,1)$$f(x)$

... 1 차 통계량의 pdf (크기 의 표본 )는 다음과 같습니다.$n$

... 의 지원 도메인을 가진 의 OrderStat함수를 사용하여 여기에서 얻었습니다 mathStatica.

그리고, 에 대해 쉽고 정확하게 얻을 수있다 :$E[X_{(1)}]$$n = 1,2,3$

정확한 사례는 대략 이며 이는 -1.06 (표 1 줄)의 작업과 분명히 다르므로 작업에 문제가있는 것 같습니다 (또는 아마도 내가 추구하는 것에 대한 나의 이해) .$n = 3$$-0.846284$

들면 폐쇄 형 해결책을 얻는 것은 더 까다이지만 상징적 통합 어렵게 증명 되더라도 (필요하면 임의의 정밀도), 우리는 항상 수치 적분을 사용할 수있다. 이것은 매우 쉽습니다 ... 예를 들어 Mathematica를 사용하여 샘플 크기 ~ 14 인 .$n \ge 4$$E[X_{(1)}]$$n = 1$

 sol = Table[NIntegrate[x g, {x, -Infinity, Infinity}], {n, 1, 14}]

{0., -0.56419, -0.846284, -1.02938, -1.16296, -1.26721, -1.35218, -1.4236, -1.48501, -1.53875, -1.58644, -1.62923, -1.66799, -1.70338}

다 했어요 이 값은 테이블 (오른쪽 열)의 값과 매우 다릅니다.

부모 의보다 일반적인 경우를 고려하려면 일반 Normal pdf부터 시작하여 위와 동일하게 진행하십시오.$N(\mu, \sigma^2)$