T- 분포 된 랜덤 변수의 제곱의 합의 분포

꼬리 지수가 인 T 분포 랜덤 변수의 제곱합의 분포를보고 있습니다. X가 rv 인 경우, 의 푸리에 변환 인 는 컨볼 루션 앞의 제곱에 대한 솔루션을 제공합니다 . $\alpha$$X^2$$\mathscr{F}(t)$$\mathscr{F}(t)^n$

$$\mathscr{F}(t)=\int_0^{\infty } \exp \left(i\, t\, x^2\right)\left(\frac{\left(\frac{\alpha }{\alpha +x^2}\right)^{\frac{\alpha +1}{2}} }{\sqrt{\alpha }\ B\left(\frac{\alpha }{2},\frac{1}{2}\right)}\right) \, \mathrm{d}x$$

함께 , 용액에 대해 푸리에 역변환 할 수 있지만, 역 다루기 힘들고 불가능 . 따라서 문제는 다음과 같습니다. 표본 분산의 분포 또는 T- 분포 랜덤 변수의 표준 편차에 대한 연구가 수행 되었습니까? (카이 제곱이 가우시안에 해당하는 것은 StudentT에게있을 것입니다). 감사합니다.$\alpha=3$$\mathscr{F}(t)^n$

(가능한 해결책) 가 Fisher 분포 되어 있음을 알았 으므로 Fisher 분포 변수의 합을 살펴볼 것입니다.$X^2$$F(1,\alpha)$

(가능한 해결책) 특성 함수로부터 summed 의 평균은 이들이 존재할 때 분포 의 처음 두 모멘트가 동일 합니다. 따라서 u를 제곱근으로하고 확률 분포 내에서 변수를 변경하면 n- 표본 T 변수의 표준 편차 밀도는 다음과 같이 근사 할 수 있습니다. $n-$$X^2$$F(n,\alpha)$

$$g(u)=\frac{2 \alpha ^{\alpha /2} n^{n/2} u^{n-1} \left(\alpha +n u^2\right)^{-\frac{\alpha }{2}-\frac{n}{2}}}{B\left(\frac{n}{2},\frac{\alpha }{2}\right)}$$

귀하의 질문에 대한 설명 (2 가지 관련이 있지만 다른 부분 인 것 같습니다) : (1) 독립 제곱 된 무작위 변수 의 합의 분포 및 (2) 샘플링 분포 에서 추출한 무작위 표본의 분산 (또는 관련 표준 편차) 분포 (아마도 (1)에 대한 이유).$n$ $t_{\alpha }$$t_{\alpha }$

독립 제곱 변수 의 합의 분포$t_{\alpha }$

만약 (독립적 인) 랜덤 가진 변수 DF 그때는 거짓이 (어느 두 번째 "가능한 솔루션"에서 주장하는 것 같습니다. 이것은 각각의 첫 번째 순간을 고려하여 쉽게 확인할 수 있습니다 (첫 번째 순간은 첫 번째 순간의 배입니다). $T_i\sim t_{\alpha }$$t$$\alpha$$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim F(n,\alpha )$$n$

첫 번째 "가능한 솔루션"의 주장은 맞습니다 : . 특성 함수에 의지하지 않고, 분포 의 특성을 비율의 분포로 고려할 때이 결과가 더 투명하다고 생각합니다. 여기서 는 표준 정규 변수입니다. 와 와 카이 제곱 변수 의 독립적 인 자유도, . 이 비율의 제곱은 다음의 각 자유도만큼 스케일링 개의 독립 변수 카이 제곱의 비율 즉 와$T_i^2\sim F(1,\alpha)$$t$$\frac{Z}{\sqrt{U/\alpha}}$$Z$$U$$\alpha$$Z$$\frac{V/1}{U/\alpha}$$V=Z^2$ 분포 의 표준 특성입니다 (분자 df는 1이고 분모 df는 ).$F(1,\alpha)$$\alpha$

위의 첫 번째 단락에서 첫 순간에 작성한 메모를 고려할 때 있습니다. 분포에 대해 동일한 표현과 분포를 갖는 랜덤 변수를 사용하여 약간의 표기법을 남용했습니다.]. 첫 번째 모멘트가 일치하지만 두 번째 중심 모멘트는 일치하지 않습니다 ( 의 경우 첫 번째 식의 분산이 후자의 식의 분산보다 작음). 따라서이 주장도 거짓입니다. [즉, 를 관찰하는 것이 흥미 롭습니다 . 이는 제곱을 합산 할 때 예상되는 결과입니다 (표준) 정상적인 변이.]$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim n F(n,\alpha )$$\alpha>4$$\lim_{\alpha \to \infty } \, n F(n,\alpha)= \chi _n^2$

분포 에서 샘플링 할 때 분산의 표본 분포$t_{\alpha }$

위에서 쓴 것을 고려할 때 "n- 표본 T 변수의 표준 편차 밀도"에 대해 얻은 표현이 올바르지 않습니다. 그러나 가 정확한 분포 였더라도 표준 편차는 단순히 제곱의 합의 제곱근이 아닙니다 ( 밀도 에 도달하는 데 사용 된 것처럼 ). 대신 의 (스케일링 된) 샘플링 분포를 찾고 있습니다. . 정상적인 경우이 식의 LHS를 제곱 정규 변수의 합으로 다시 작성할 수 있습니다 (사각 내부의 용어는 다시 정규 분포를 따르는 정규 변수의 선형 조합으로 다시 쓸 수 있음). 익숙한$F(n,\alpha)$$g(u)$$\sum _{i=1}^n \left(T_i-\bar{T}\right){}^2=\sum _{i=1}^n T_i^2-n \bar{T}^2$$\chi^2$ 분포. 불행하게도, 변수 의 선형 조합 (동일한 자유도를 가짐)은 분포되지 않으므로 유사한 접근 방식을 이용할 수 없습니다.$t$$t$

아마도 당신은 당신이 보여주고 싶은 것을 재고해야합니까? 예를 들어 일부 시뮬레이션을 사용하여 목표를 달성 할 수 있습니다. 그러나 의 첫 번째 모멘트 만 유한 한 상황 인 예제를 표시 하므로 시뮬레이션은 그러한 모멘트 계산에 도움이되지 않습니다. $\alpha=3$$F(1,\alpha)$

Hotelling의 T- 분포 ( http://en.wikipedia.org/wiki/Hotelling's_T-squared_distribution ) 를 확인하십시오 . 이과의 관계입니다 인 - 분포는 ( http://en.wikipedia.org/wiki/F-distribution#Related_distributions_and_properties ), 그러나 나는 이것이 당신이 요구하는지 정확히 모르겠어요. $T^2$$F$