두 개의 랜덤 변수 중 작은 변수에 대한 편견 추정치

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가정 및 $X \sim \mathcal{N}(\mu_x, \sigma^2_x)$ $Y \sim \mathcal{N}(\mu_y, \sigma^2_y)$

나는에 관심이 있어요 . 대한 편견 추정기가 있습니까? $z = \min(\mu_x, \mu_y)$ $z$

심플한 추정기 과 샘플 수단 및 , 예를 들어, 바이어스 (일치하지만). 를 언더 슈트하는 경향이 있습니다. $\min(\bar{x}, \bar{y})$ $\bar{x}$ $\bar{y}$ $X$ $Y$ $z$

에 대한 편견 추정기가 생각 나지 않습니다 $z$ . 하나 존재합니까?

도움을 주셔서 감사합니다.

random-variable unbiased-estimator minimum

— 파잠
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이것은 답변이 아닌 몇 가지 의견입니다 (대리점이 충분하지 않음).

(1). 간단한 추정량 의 바이어스에 대한 명시적인 공식이 있습니다. $min(\bar{x},\bar{y})$

클라크, CE 1961, 3 월 4 월 유한 변수의 유한 집합 중 가장 큰 것. 운영 연구 9 (2) : 145–162.

이것이 어떻게 도움이되는지 확실하지 않습니다.

(2). 이것은 직관 일 뿐이지 만, 그런 추정기는 존재하지 않는다고 생각합니다. 이러한 추정 경우 바이어스를 해제해야합니다 . 따라서 추정기가 두 표본 평균의 가중 평균을 말하는 것보다 작게 만드는 '다운 그레이드'는이 경우 추정기가 편향되게합니다. $\mu_x=\mu_y=\mu$

— 또는 Zuk
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1

아마도, 임의의 정정은이 경우 평균 0을 가질 수있다.

— 추기경

그러나 명확히하기 위해, 나는 편견이없는 추정자가 있다고 주장하지 않습니다. 사실, 나는 그렇지 않다는 데 동의합니다 .

— 추기경

1

예, 동의합니다. 이것은 직관 일뿐입니다. 다음 논문은 일 변량 가우스 평균의 함수에 대한 편견 추정치의 존재 조건을 제공합니다. 다변량으로 확장 될 수 있습니다. stat.ncsu.edu/library/mimeo.archive/ISMS_1988_1929.pdf

— 또는 Zuk

편견을 알면 도움이 될 수 있습니다. 편견없는 추정값을 얻도록 교정 할 수 있습니다. 실제로이 경로를 따라 갔지만 정확한 바이어스를 계산하려면 와 가 있어야합니다 . 그래서 자연스럽게 나는 샘플 평균을 대신하여 무슨 일이 일어나는지 보았습니다. 도움이되지 않는 것 같습니다. 시뮬레이션에서, 수정 된 추정기는 또한 바이어스를 나타냅니다. 나는 존재하지 않는 편견없는 견적에 기울고 있지만 좋은 증거를 찾지 못했습니다.

u_{x}

$u_x$

u_{y}

$u_y$

— pazam

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당신은 편견없는 추정기가 존재하지 않는 것이 맞습니다. 문제는 관심있는 매개 변수가 으로 인해 기본 데이터 배포의 원활한 기능이 입니다. $\mu_x=\mu_y$

증거는 다음과 같습니다. 하자 공평 추정합니다. 그런 다음 입니다. 왼쪽은 및 (정수 부호로 구분) 와 관련하여 어디에서나 구별 할 수 있습니다 . 그러나 오른쪽은 에서 모순이 생깁니다. $T(X,Y)$ $E_{\mu_x,\mu_y}[T(X,Y)]=\min\{\mu_x,\mu_y\}$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\mu_x=\mu_y$

히라노와 포터는 다가오는 Econometrica 논문에 대한 일반적인 증거를 가지고 있습니다 (제안 1 참조). 작동하는 종이 버전은 다음과 같습니다.

http://www.u.arizona.edu/~hirano/papers/hp4_2011_11_03.pdf

— 사용자
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아주 좋아요! 이 질문에 답해 주셔서 감사합니다.

— whuber

1

표본에 주어진 숫자 집합의 최소값 (또는 최대 값)에 대한 추정자가 있습니다. Laurens de Haan, "주문 통계를 사용한 함수의 최소값 추정", JASM, 76 (374), 1981 년 6 월, 467-469를 참조하십시오.

— 얀 갈 코프 스키
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불행히도 나는 당신이 인용 한 논문이이 문제를 다룬다 고 생각하지 않습니다. 이 논문은 확률이 아닌 변수 A가 있고 샘플링을 통해 A에서 가장 작은 요소를 찾는 경우를 다룹니다. 이 문제와 관련하여, A의 각 요소는 임의의 변수가 될 것이며, 그 안에 키커가 있습니다. A에서 가장 작은 랜덤 변수의 평균에 대한 편견없는 추정값을 찾아야합니다.

— pazam

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나는 편견이없는 추정기가 존재하지 않을 것이라고 확신합니다. 그러나 편견없는 추정기는 대부분의 수량에 존재하지 않으며, 편견은 처음에는 특히 바람직한 특성이 아닙니다. 왜 여기서 하나를 원하십니까?

샘플을 얻는 데 비용이 많이 들기 때문에 바이어스가 사라질 때까지 샘플 크기를 늘릴 수 없습니다. 추정기의 결과를 선형 회귀 분석에서 로 사용하기 때문에 편견이 바람직 합니다. 바이어스가 있다는 것은 가 비정규 교란을 포함 한다는 것을 의미하며, 이는 사양 오류와 동일하며 혼란을 초래합니다. 기울기, 분산, 신뢰 구간 구성 등을 정확하게 예측할 수 없습니다.

Y

$Y$

Y

$Y$

— pazam