예비 통계 박사 과정 학생을위한 중요한 순수 수학 과정은 무엇입니까?

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선형 대수와 분석 (특히 측정 이론)이 중요하다는 것을 알고 있습니다. 실제적이고 복잡한 분석에서 대학원 과정을 수강하는 것이 도움이됩니까? 기초 대수 및 대수 기하학과 같은 입문 과정 이외의 추상 대수 과정을 수강해야합니까?

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제 생각에, 대학원 수준에서 조사 할 수있는 몇 가지 옵션은 기능 분석 (통계적 공식을위한 자연적 프레임 워크), 확률 적 프로세스, 확률 적 제어 (순차적 분석은 최적의 정지), 다양한 풍미의 PDE (많은 확률 론적 문제는 다음과 같이 공식화됩니다) 포물선 및 비선형 PDE). 이들 대부분은 저학년 수준의 실제 분석이 필요합니다. 이론적 인 것에 관심이 있다면, 측정 이론을 취하는 것도 이러한 주제를 완전히 다루기위한 전제 조건으로 매우 중요합니다. 복잡한 분석은 다소 사용되지만 위의 것보다 적습니다. 확률 (예 : 고조파 함수)에 연결되어 있지만 그만한 가치는 없습니다.

정류 대수와 대수 기하학은별로 유용하지 않습니다 (내가 생각할 수있는 연결은 대수 통계이며 널리 알려지지 않았습니다). 이 주제는 수학에 대한 탄탄한 배경이 없으면 매우 도전적입니다.

— 준
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나는 PDE 과정이 필요하다는 것을 알았지 만 이유 때문에“순수한 수학”이라고 말했습니다. 기능 분석에 대해서는 생각하지 않았습니다. 나는 연결을 보았지만 실제로 취할 가치가 있는지 모르겠습니다.

— user36587

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PDE는 다양한 맛으로 가르 칠 수 있습니다. 하나는 기본 예제를 명시 적으로 해결하는 것과 관련이있을 수 있고, 다른 하나는 문제 클래스의 일반적인 존재와 고유성과 관련이있을 수 있지만, 다른 하나는 숫자 방법과 제대로 작동하는 경우에 관한 것일 수 있습니다.

— quasi

복잡한 이론은 분포 이론에서 매우 유용 할 수 있습니다! (형상 통합에 의한 변환 반전 ...). 분포 이론을위한 특수 기능.

— kjetil b halvorsen 2016 년

PDE에서는 수학 물리학의 접근 방식이 마음에 듭니다. 응용 분야에 레이저로 초점을 맞추면 많은 PDE를 수치 적으로 풀 수 있지만 가장자리에서 잘리지 않는 충분한 이론을 배우게됩니다. 실제로 물리학이 가지고있는 PDE의 다루기 힘든 문제를 해결하는 것이 중요합니다.

— Aksakal

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측정 이론을 이해하려면 실제 분석 및 고급 분석 (예 : 포인트 세트 토폴로지)을 선택해야합니다. 추상적 대수학은 분석보다 확실히 등급 친화적이지만, 나는 그것이 덜 유용하다고 생각합니다.

— 로시 낭테
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실제 분석을 수행하지만 사람들이 보는 방식에는 영향을 미치지 않습니다. 우리가 수학 학부생들을 인터뷰 할 때 실제 분석 도구를 습득하지 못하는 것 같습니다. 나는 아직도 왜 그런지 이해하지 못한다. 따라서 조언 : 가장 먼저 응용 프로그램에주의를 기울이십시오.

또한 ODE 및 PDE 코스, 기능 분석 및 미분 기하학도 제공합니다. 물론 선형 대수와 텐서도 있습니다. 모두 응용 프로그램에 중점을 둡니다.

— 악사 칼
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차등 기하학은 특히 정보 기하학에 관한 것입니까, 아니면 통계 이론에 대한 일반적인 적용이 있습니까? 나는 정말로 몰라 알고 싶어요

— Chill2Macht

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통계와 지오메트리의 연결은 깊고 다각적입니다. 최근에 커브 간의 공분산 측정을 예를 들어 벡터의 연속 확장으로보고있는 데 어려움을 겪었습니다. 파라 메트릭 추정기와 관련된 매니 폴드에 대한 최근 토론도있었습니다. 토폴로지와 같은 멋진 주제를 가진 것들은 당신이 그것들을 알지 않는다면 당신이 그것들을 사용할 수 있다는 것을 알지 못한다는 것입니다.

— Aksakal

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정답 대수 및 대수 기하학과 관련하여 다른 답변에서 가장 다루지 않는 주제는 대수 통계를 피하는 한 전적으로 대치하지 않고 얻을 수 있다는 것입니다. 대수 통계를 피하는 것은 미래에 점점 더 어려울 수 있습니다. 머신 / 통계 학습과 많은 응용 프로그램과 교차점이 있기 때문에 오늘날의 연구와 다른 분야의 응용 프로그램에서 매우 두드러집니다. 정류 대수와 대수 기하학은 대수 통계에 대해 가장 구체적으로 배우고 싶은 과목입니다. 예를 들어이 질문에 대한 답변을 참조하십시오. 대수 기하학 통계

대조적으로, 모든 통계의 하위 필드는 분석을 사용합니다. (그렇지만 복잡한 분석은 그다지 특징적인 기능을 이해하는 데 유용 할 수 있지만 아직 제기되지 않은 것으로 보입니다.) 저는 전문 통계 학자 (예 : 교수)를 만났기 때문에 학부 수준 측정 이론이 충분하다고 생각합니다. 측정 이론을 내려다 보는 최고 부서에서) 그러나 측정 이론을 실제로 이해하려면 실제 분석의 대학원 수준 과정이 큰 도움이됩니다. 학부 측정 이론은 실제 측정 라인에 대한 Lebesgue 측정에만 초점을 맞추는 경향이 있는데, 이는 일반 측정에 반드시 포함되지 않을 수도있는 훌륭한 속성이 많으며 또한 무한한 측정입니다. 반대로 대학원 수준의 실제 분석 과정은 추상적 측정에 더 중점을 두는 경향이 있습니다. 일반적으로 확률 척도를 이해하기 쉽게 만들고 연속 확률과 불연속 확률 척도 간의 관계를 더 명확하게 만듭니다. 즉, 두 주제가 처음으로 하나의 프레임 워크 내에서 모인 것을 볼 수 있습니다. 마찬가지로, 그러한 과정에서 Kolmogorov 확장 정리를 증명할 수도 있습니다. 그리고 추상적 인 측정법에 대한 이해는 실제로 확률 적 프로세스에 대한 지속적인 이해를 위해 반드시 필요합니다. 연속적인 경우보다 덜 중요하지만 불연속적인 시간에 확률 론적 프로세스를 이해하는 데 유용합니다. 당신은 두 가지 주제가 처음으로 하나의 프레임 워크 안에서 모인 것을 볼 수있을 것입니다. 마찬가지로, 그러한 과정에서 Kolmogorov 확장 정리를 증명할 수도 있습니다. 그리고 추상적 인 측정법에 대한 이해는 실제로 확률 적 프로세스에 대한 지속적인 이해를 위해 반드시 필요합니다. 연속적인 경우보다 덜 중요하지만 불연속적인 시간에 확률 론적 프로세스를 이해하는 데 유용합니다. 당신은 두 가지 주제가 처음으로 하나의 프레임 워크 안에서 모인 것을 볼 수있을 것입니다. 마찬가지로, 그러한 과정에서 Kolmogorov 확장 정리를 증명할 수도 있습니다. 그리고 추상적 인 측정법에 대한 이해는 확률 론적 과정을 지속적으로 엄격하게 이해하는 데 필수적입니다. 연속적인 경우보다 덜 중요하지만 불연속 시간에 확률 론적 프로세스를 이해하는 데에도 유용합니다.

— Chill2Macht
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