무한 분산의 정규 분포가 평균보다 큰 값을 가질 확률은 얼마입니까?

오늘 인터뷰에서 이와 비슷한 질문을 받았습니다.

면접관은 변동성이 무한대가 될 때 화폐 옵션이 화폐로 끝날 가능성을 알고 싶어했습니다.

Black-Scholes 모델과 랜덤 워크 가설의 기초가되는 정규 분포가 무한한 분산을 갖기 때문에 0 %라고 답했습니다. 그래서 나는 모든 값의 확률이 0이 될 것이라고 생각했습니다.

제 면접관은 정 분포가 대칭적이고 거의 균일하기 때문에 정답은 50 %라고 말했습니다. 따라서 평균에서 + 무한으로 통합하면 50 %가됩니다.

나는 여전히 그의 추론에 확신이 없다.

누구가 옳습니까?

추론의 형태는 수학적으로 엄격하지 않으며, 무한 분산을 갖는 정규 분포와 같은 것도 없으며, 분산이 커질 때 제한적인 분포도 없기 때문에 조금 조심해야합니다.

Black-Scholes 모델에서 기본 자산의 로그 가격은 무작위로 진행되는 것으로 가정합니다. 문제는 "만료 날짜의 자산 (로그) 값이 현재 (로그) 값을 초과 할 가능성은 얼마입니까?" 휘발성이 제한없이 증가하게하는 것은 만료 날짜가 제한없이 증가하게하는 것과 같습니다. 따라서, 대답은 "으로, 한계가 무엇인지 물어와 동일해야합니다 , 시간에 랜덤 워크의 값 것을 시간 값보다 큰 ?" 대칭으로 (upticks downticks 및 교환) (및 연속 모델 돈으로되는 기회가 있음을 주목 ) 것과 동일 확률 임의위한t 0 0 1 / 2 t > 0 1 /$t \to \infty$$t$$0$$0$$1/2$$t \gt 0$ , 한계가 실제로 존재하고 과 같은 경우 .$1/2$

$X_1, X_2,\ldots, X_n$$\mu$$\sigma_n$

σ n → $\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)$$\sigma_n\to \infty$

분명히 우리는 이 과 독립적이라는 것을 알 수 있습니다. σ$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)=\frac{1}{2}$$\sigma_n$

직관적으로, 무한 분산 정규 분포를 생각하는 대신 유한 분산 분포를 상상하고 한계를 가지고 작업해야합니다.

정규 분포가 아닌 로그 정규 분포를 기반으로 분석을 수행해야합니다. 분포가 대칭이라고 말하면 면담자가 잘못되었습니다. 차이에 관계없이 결코 그렇지 않습니다. 또한 변동성과 무한 분산이라고하는 것을 구별해야합니다. 예를 들어 주식 가격에는 상한이 없으므로 "무한 분산"이 있습니다.