포아송 분포에 대한 정규 근사

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Wikipedia에서는 다음 과 같이 말합니다.

충분히 큰 $λ$ 값 (예 : $λ>1000$ )의 경우 평균 $λ$ 및 분산 $λ$ (표준 편차 $\sqrt{\lambda}$ ) 의 정규 분포 는 포아송 분포에 대한 근사치입니다. 경우 $λ$ 약 10보다 큰 적절한 연속성 보정, 즉, 실행되는 경우, 정규 분포는 양호한 근사치 인 $P(X ≤ x),$ (소문자) 여기서 $x$ 음이 아닌 정수로 교체하고, $P(X ≤ x + 0.5).$

$F_\mathrm{Poisson}(x;\lambda) \approx F_\mathrm{normal}(x;\mu=\lambda,\sigma^2=\lambda)$

불행히도 이것은 인용되지 않았습니다. 나는 이것을 약간의 엄격함으로 보여주고 증명할 수 있기를 원합니다. 실제로 일 때 정규 분포가 좋은 근사 라고 어떻게 말할 수 있습니까?이 '우수한'근사를 어떻게 정량화합니까? 어떤 측정이 사용 되었습니까? $\lambda > 1000$

나는이 함께있어 먼은 여기 요한이 베리 Esseen 정리를 사용하는 방법에 대한 이야기와 두 CDFS에 오류를 근사 곳. 내가 볼 수 있듯이 그는 $\lambda \geq 1000$ 값을 시도하지 않습니다 .

normal-distribution poisson-distribution approximation

— hgeop
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'good'을 정의 하지 않으면 증명할 수 없습니다 . (점근 적 결과를 증명할 수는 있지만 기준을 정의하지 않고 특정 표본 크기에서 '좋음'으로 선언 할 수는 없습니다.) 직접 예를 통해 그 행동을 보여줄 수 있습니다 (사람들이 '좋은'방법을 볼 수 있음) 그들 자신의 빛에 의한 것입니다). 사람들이 사용하는 일반적인 기준의 경우 연속성 수정은 꼬리에 깊숙이 들어 가지 않는 한 대해 잘 작동합니다 .

λ > 10

$\lambda>10$

— Glen_b-복지 모니카

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(더 구체적으로 말하면, 기준이 절대 오차라면 10과 같은 작은 표본 크기에서 모든 곳에서 '좋은'결과를 얻을 수 있지만 대부분의 사람들은 상대 오차에 가까운 것에 관심이 있습니다)

— Glen_b -Reinstate Monica

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가 매개 변수 인 Poisson 이고 가 mean 및 variance 정상 이라고 가정 합니다. 적절한 비교는 과 입니다. 여기에서는 간단히하기 위해 이라고 씁니다 . 즉, 이 평균에서 표준 편차에 해당 할 때 관심 이 있습니다. $X$ $\lambda$ $Y$ $\lambda$ $\Pr(X = n)$ $\Pr(Y \in [n-\frac12,n+\frac12])$ $n = \lambda + \alpha \sqrt\lambda$ $n$ $\alpha$

그래서 나는 속였다. 나는 Mathematica를 사용했습니다. 따라서 및 은 를 . 그러나 그들의 차이에 점근 적이다 이면 이것을 의 함수로 플로팅하면 http://www.johndcook.com/blog/normal_approx_to_poisson/ 의 두 번째에서 마지막 그림과 같은 곡선이 나타납니다 . $\Pr(X = n)$ $\Pr(Y \in [n-\frac12,n+\frac12])$

\frac{1}{\sqrt{2 π λ}} e^{- α^{2} / 2}

$\frac 1{\sqrt{2\pi \lambda}} e^{-\alpha^2/2}$

λ \to \infty

$\lambda \to \infty$

\frac{α (α^{2} - 3) e^{- α^{2} / 2}}{6 \sqrt{2 π} λ}

$\frac{\alpha \left(\alpha ^2-3\right) e^{-\alpha ^2/{2}}}{6 \sqrt{2 \pi } \lambda }$

α

$\alpha$

내가 사용한 명령은 다음과 같습니다.

  n = lambda + alpha Sqrt[lambda];
  p1 = Exp[-lambda] lambda^n/n!;
  p2 = Integrate[1/Sqrt[2 Pi]/Sqrt[lambda] Exp[-(x-lambda)^2/2/lambda], {x, n-1/2, n+1/2}];
  Series[p1, {lambda, Infinity, 1}]
  Series[p2, {lambda, Infinity, 1}]

또한 약간의 실험을 통해 대한 더 나은 점근 적 근사 가 . 그러면 오류는 약 배 더 작습니다. $\Pr(X = n)$ $\Pr(Y \in [n-\alpha^2/6,n+1-\alpha^2/6])$

- \frac{(5 α^{4} - 9 α^{2} - 6) e^{- α^{2} / 2}}{72 \sqrt{2 π} λ^{3 / 2}}

$-\frac{\left(5 \alpha ^4-9 \alpha ^2-6\right) e^{-{\alpha ^2}/{2}} }{72 \sqrt{2 \pi } \lambda ^{3/2} }$

\sqrt{λ}

$\sqrt\lambda$

— 스티븐 몽고메리 스미스
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Glen_b는 "좋은 적합"이 매우 주관적인 개념이라는 점에서 정확합니다. 그러나 포아송 분포가 합리적으로 정상임을 검증하려면 귀무 가설이 가정 Kolmorgov-Smirnov 검정을 사용할 수 있습니다 . CDF는 분포 에서 나온 것으로 가정합니다. 샘플은 poisson ( ) 에서 나옵니다 . 실제로 표본을 테스트하는 것이 아니라 다른 분포를 대상으로 한 분포이므로,이 가설 검정에 대해 가정 한 표본 크기 및 유의 수준에 대해 신중하게 생각해야합니다 (일반적인 방식으로 KS 검정을 사용하지 않기 때문). 그건: $H_{0}:$ $N(\lambda,\lambda)$ $\lambda$

대표적이고 가정적인 표본 크기 n을 선택하고 검정의 유의 수준을 일반적인 값 (예 : 5 %)으로 조정합니다.

이제 데이터가 실제로 poisson ( ) 에서 온 것으로 가정하여이 테스트의 유형 II 오류율을 계산하십시오 . 정규 분포에 대한 적합도는이 유형 II 오류율입니다. 특정 포아송 분포에서 크기 n의 표본은 평균적 으로 선택한 시간에 KS 정규성 검정에 의해 시간의 %를 받아 들일 것이라는 점 에서 중요성 수준. $\lambda$ $\beta$

어쨌든, 그것은 "적합성"에 대한 감각을 얻는 방법 중 하나 일뿐입니다. 그러나 모든 사람들은 당신이 스스로 정의해야 할 "선"의 주관적인 개념에 의존합니다.

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이항 분포에서 파생하면 약간의 통찰력을 얻을 수 있습니다.

이항 랜덤 변수가 있습니다;

p (x) = (\binom{n}{x}) p^{x} (1 - p)^{n - x}

$p(x) = {n \choose x} p^x (1-p)^{n-x}$

대안 적으로 재귀 적으로 계산 될 수 있습니다.

p (x) = \frac{(n - x + 1) p}{x (1 - p)} p (x - 1)

$p(x) = \frac{(n-x+1)p}{x(1-p)}p(x-1)$

초기 상태를 유지하면;

p (0) = (1 - p)^{n}

$p(0) = (1-p)^n$

이제 이 크고 가 작지만 의 평균 성공 은 일정 하다고 가정합니다 . 그런 다음 다음을 수행 할 수 있습니다. $n$ $p$ $p(x)$ $(np = \lambda)$

P (X = i) = (\binom{n}{i}) p^{x} (1 - p)^{n - x}

$P( X = i ) = {n \choose i} p^x (1-p)^{n-x}$

우리는 합니다. $p = \lambda / n$

P (X = i) = \frac{n!}{(n - i)! i!} {(\frac{λ}{n})}^{i} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n - i}

$P( X = i ) = \frac{n!}{(n-i)!i!} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^i \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-i}$

우리는 몇 가지 변수를 바꾸고 평가합니다.

P (X = i) = \frac{n (n - 1) (n - 2) \dots (n - i + 1)}{n^{i}} \frac{λ^{i}}{i!} \frac{(1 - \frac{λ}{n})^{n}}{(1 - \frac{λ}{n})^{i}}

$P( X = i ) = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-i+1)}{n^i} \frac{\lambda^i}{i!} \frac{(1-\frac{\lambda}{n})^n}{(1-\frac{\lambda}{n})^i}$

미적분학에서 우리는 입니다. 또한 상단과 하단이 모두 차수 다항식이므로 이라는 것도 알고 있습니다. $\lim_{n\to\infty} (1 + x/n)^n = e^x$ $[n(n-1)(n-2)\cdots(n-i+1)]/n^i \approx 1$ $i$

이것은 라는 결론으로 이어진다 . $n \to \infty$

P (X = i) \to \frac{e^{- λ} λ^{i}}{i!}

$P(X=i) \to \frac{ e^{-\lambda}{\lambda^i}}{i!}$

그런 다음 정의를 통해 및 확인할 수 있습니다 . 연속성을 수정 하는 한 이항 분포가 De Moivre-Laplace 정리 의 조건 하에서 법선에 근사한다는 것을 알고 있으므로 가 로 바뀝니다. . $E(X) = \lambda$ $\operatorname{Var}(X) = \lambda$ $P(X\le x)$ $P(X\le x+0.5)$

— 빈센트 워머 담
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