관계

하자 내가 두 개의 1 차원 배열이 있다고 1 과 2 . 각 데이터 포인트는 100 개입니다. 1 실제 데이터이며 2 모델 예측이다. 이 경우 R 2 값은 다음과 같습니다. R 2 = 1 − S S r e s$a_1$$a_2$$a_1$$a_2$$R^2$

$$R^2 = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}} \quad\quad\quad\quad\quad\ \ \quad\quad(1).$$ 한편, 이것은 상관 계수의 제곱 값 $$R^2 = (\text{Correlation Coefficient})^2 \quad (2).$$ 이제 바꿀 경우 2 : 2는 실제 데이터이며 1 모델 예측이다. 식 ( 2 )로부터 , 상관 계수는 어느 것이 먼저 오는지를 신경 쓰지 않기 때문에, R 2 값은 동일 할 것이다. 그러나, 식 ( 1 ) , S S t O t = Σ I ( Y I - ˉ Y가 ) (2) 는 R (2) 값이 변경되고 있기 때문에 S S$a_2$$a_1$$(2)$$R^2$$(1)$$SS_{tot}=\sum_i(y_i - \bar y )^2$$R^2$$SS_{tot}$ 우리 전환하면 변경된$y$으로부터 1 에 2 ; 그동안S S의 연구에 E S =는 σ 난 ( f를 전 - ˉ Y ) (2)가 변경되지 않는다.$a_1$$a_2$$SS_{res}=\sum_i(f_i-\bar y)^2$

내 질문은 : 어떻게 서로 모순 될 수 있습니까?

편집 :

1. 나는 Eq.의 관계가 궁금합니다. (2) 단순한 선형 회귀가 아닌 경우, 즉 IV와 DV의 관계가 선형이 아닌 경우에도 여전히 서 있습니까 (지수 / 로그 일 수 있음)?

2. 예측 오차의 합이 0이 아닌 경우이 관계는 여전히 유효합니까?

이것은 사실이다 변경됩니다 ...하지만 당신은 사각형의 회귀 합이뿐만 아니라 변경됩니다 사실을 잊어 버렸습니다. 간단한 회귀 모형을 고려하고 상관 계수를 r 2 x y = S 2 x y 로 표시하겠습니다.$SS_{tot}$ , 하위 인덱스xy를사용하여x가 독립 변수이고y가 종속 변수라는 사실을 강조했습니다. 물론,R2 , X , Y는 당신이 교환하는 경우 변경되지 않습니다X를함께Y. 우리는SSRxy=Syy(R2 x y )를 쉽게 보여줄 수 있습니다. 여기서SSRxy는 $r_{xy}^2=\dfrac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}}$$xy$$x$$y$$r_{xy}^2$$x$$y$$SSR_{xy}=S_{yy}(R_{xy}^2)$$SSR_{xy}$ 는 x 가 독립적이고 y 가 종속 변수인총 제곱합입니다. 따라서 : R 2 x y = S S R x $S_{yy}$$x$$y$여기서SSExy는x가 독립적이고y가 종속 변수인제곱의 해당 잔차 합입니다. 이 경우SSExy=b2 x y Sxx와b=Sx

$$R_{xy}^2=\dfrac{SSR_{xy}}{S_{yy}}=\dfrac{S_{yy}-SSE_{xy}}{S_{yy}},$$ $SSE_{xy}$$x$$y$$SSE_{xy}=b^2_{xy}S_{xx}$ (예를 들어 여기에서 식 (34)-(41)참조) 따라서 :R2 x y =Syy- S 2 x $b=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$분명히 위의 방정식은x와y에대해 대칭입니다. 즉,R2 x y =R2 y x 입니다. 변경할 때 요약X를가진Y단순 회귀 모형에서, 두 분자와 분모R2 , X , Y =SSR을X $$R_{xy}^2=\dfrac{S_{yy}-\dfrac{S^2_{xy}}{S^2_{xx}}.S_{xx}}{S_{yy}}=\dfrac{S_{yy}S_{xx}-S^2_{xy}}{S_{xx}.S_{yy}}.$$ $x$$y$ $$R_{xy}^2=R_{yx}^2.$$ $x$$y$ 는R2 x y =R2 y x 와 같은 방식으로 변경됩니다$R_{xy}^2=\dfrac{SSR_{xy}}{S_{yy}}$$R_{xy}^2=R_{yx}^2.$

$R^{2}$$y_{i}$$\hat{y}_{i}$

관측 값 yi와 적합치 y ^ i 사이의 제곱 Pearson 상관 계수에서 결정 계수 R2를 도출하는 방법에 대한 완전한 증거는 다음 링크에서 찾을 수 있습니다.

http://economictheoryblog.wordpress.com/2014/11/05/proof/

내 눈에는 이해하기 쉬울 것입니다. 단일 단계를 따르십시오. 두 핵심 인물 간의 현실이 실제로 어떻게 작동하는지 이해하는 것이 필수적이라고 생각합니다.

$R^2 = r^2 = Corr(x,y)^2$

$$R^2 = Corr(y_{estimated},y_{observed})^2$$

반응과 적합 선형 모형 간의 상관의 제곱입니다.

$r$$r^2$

$r$$Y$$X$$X$$Y$$r$$.30$

$r^2$$r^2 = (\frac {cov}{\sigma_x \sigma_y})^2 = \frac {|cov|} {\sigma_x^2} \frac {|cov|} {\sigma_y^2}$$r^2$$\sqrt{prop*prop}$$r$

$cov$$\sigma_x^2$$\sigma_y^2$$cov$$cov$$\sigma_x^2$$\sigma_y^2$$\sigma_x \sigma_y$$r^2$$r$

$r$$r^2$$Y\text~X$$X\text~Y$

$R^2=r^2$$R^2$

x=rnorm(1000); y=rnorm(1000)              # store random data
summary(lm(y~x))                          # fit a linear regression model (a)
summary(lm(x~y))                          # swap variables and fit the opposite model (b)
z=lm(y~x)$fitted.values; summary(lm(y~z)) # substitute predictions for IV in model (a)

$R^2$$R^2$

$R^2\ne r^2$$R^2$$r$$\rho$