동일한 모집단의 다중 샘플링에서 교차 가능성

사례는 다음과 같습니다.

• 인구는 10,000 개입니다. 각 항목에는 고유 한 ID가 있습니다.
• 무작위로 100 개의 항목을 선택하고 ID를 기록합니다.
• 100 개 항목을 다시 인구 집단에 넣었습니다.
• 무작위로 다시 100 개의 아이템을 골라 ID를 기록한 후 교체합니다.
• 전체적으로이 무작위 샘플링을 5 번 반복합니다

5 개의 랜덤 샘플링에서 개의 항목이 나타날 확률은 얼마입니까?$X$

나는 통계에 정통하지 않습니다. 이것이 맞 습니까?$X = 10$

• 각 샘플링에 대해 10,000에서 100 개 항목의 가능한 조합 수는${\rm binom}(10000, 100)$
• 100 개 항목의 가능한 모든 조합 중 조합은 10 개의 특정 항목을 포함합니다${\rm binom}(9990, 90) * {\rm binom}(100, 10)$
• 10 개의 특정 항목을 가질 확률은$({\rm binom}(9990, 90) * {\rm binom}(100, 10)) / {\rm binom}(10000, 100)$
• 5의 거듭 제곱에 대한 계산 된 확률은 5 개의 독립 샘플링을 나타냅니다.

본질적으로 우리는 5 개의 독립적 인 초 지오메트리 확률을 계산 한 다음이를 곱하는 것입니까? 어딘가에 한 걸음 빠진 것 같습니다.

재귀 적으로 확률을 계산하십시오.

를 멤버 의 모집단에서 항목 의 모든 독립 드로우 에서 정확하게 값 가 선택 될 확률로 하자 . ( 분석 기간 동안 과 고정하고 명시 적으로 언급하지 않아도됩니다.)$p_s(x)$$x$$0 \le x \le k$$s\ge 1$$k$$n \ge k \gt 0$$n$$k$

하자 정확히 경우 확률 될 값은 처음에 선택 무, 다음 중은 마지막 무승부로 선택됩니다. 그런 다음 요소 의 요소에 대한 하위 집합이 있고 나머지 요소 의 하위 집합 이 인구 의 다른 구성원과 별도로 선택 되므로,$p_s(x\mid y)$$y$$s-1$$x \le y$$\binom{y}{x}$$x$$y$$\binom{n-y}{k-x}$$k-x$$n-y$

총 확률 법칙

들면 , 그것은 확실성의 이 개시 분포이다.$s=1$$x=k$

반복 을 통해 전체 분포를 얻는 데 필요한 총 계산 은 입니다. 합리적으로 빠를뿐만 아니라 알고리즘도 쉽습니다. 위험한 프로그래머를 기다리는 한 가지 함정은 이러한 확률이 매우 작고 언더 플로 부동 소수점 계산이 될 수 있다는 것입니다. 다음 구현은 배열 열 에서 값을 계산하여이를 방지합니다 .$s$$O(k^2 s)$R$\log(p_s(x))$$1, 2, \ldots, s$

lp <- function(s, n, k) {
  P <- matrix(NA, nrow=k+1, ncol=s, dimnames=list(0:k, 1:s))
  P[, 1] <- c(rep(-Inf, k), 0)
  for (u in 2:s) 
    for (i in 0:k) {
      q <- P[i:k+1, u-1] + lchoose(i:k, i) + lchoose(n-(i:k), k-i) - lchoose(n, k)
      q.0 <- max(q, na.rm=TRUE)
      P[i+1, u] <- q.0 + log(sum(exp(q - q.0)))
    }
  return(P)
}
p <- function(...) zapsmall(exp(lp(...)))

질문에 대한 답변은 및 을 통해 얻습니다 . $s=5,$ $n=10000=10^4$$k=100=10^2$ 출력은 배열이지만 대부분의 숫자는 너무 작아서 매우 작은 에 집중할 수 있습니다 . 해당하는 처음 네 개의 행은 다음과 같습니다 .$101\times 5$$x$$x=0,1,2,3$

p(5, 1e4, 1e2)[1:4, ]

출력은

  1         2         3      4        5
0 0 0.3641945 0.9900484 0.9999 0.999999
1 0 0.3715891 0.0099034 0.0001 0.000001
2 0 0.1857756 0.0000481 0.0000 0.000000
3 0 0.0606681 0.0000002 0.0000 0.000000

값은 행에 레이블을 지정하고 값은 열에 레이블을 지정합니다. 5 열은 5 개 샘플 모두에 하나의 요소가 나타날 가능성이 적고 (약 100 만 개) 5 개 샘플 모두에 2 개 이상의 요소가 나타날 가능성은 없습니다.$x$$s$

이러한 기회가 얼마나 작은 지 보려면 해당 로그를보십시오. 10 진법은 편리하며 많은 숫자가 필요하지 않습니다.

u <- lp(5, 1e4, 1e2)[, 5]
signif(-u[-1] / log(10), 3)

출력은 소수점 뒤에 몇 개의 0이 있는지 알려줍니다.

    1     2     3     4     5     6     7     8     9    10  ...   97    98    99   100 
  6.0  12.3  18.8  25.5  32.3  39.2  46.2  53.2  60.4  67.6 ... 917.0 933.0 949.0 967.0 

맨 위 행의 숫자는 값입니다 . 예를 들어, 모든 5 개 개의 샘플에 표시 정확히 3 값의 기회는 계산에 의해 발견 주고, 실제로이있다 전과 0을 첫 번째 유효 숫자. 수표로, 마지막 값 의 둥근 버전 . (첫 번째 샘플이 다음 네 샘플에 다시 나타날 가능성을 계산)은$x$exp(u[4])$0.000\,000\,000\,000\,000\,000\,1434419\ldots$$18$$967.0$$967.26$$\binom{10000}{100}^{-4}$$10^{-967.26}.$

방금 비슷한 문제가 발생했지만 이것이 올바른 해결책인지 모르겠지만 다음과 같이 접근했습니다.

당신의 발생에 관심이 5 개 샘플에있는 항목 의 항목 항목 총. 흰색 공과 검은 공으로 항아리를 생각할 수 있습니다. 공을 꺼내고 는 세트에 모든 흰색 공이 있을 확률입니다 . 이 작업을 번 (독립적으로) 수행하면 곱합니다 .$X$$100$$10,000$$X$$10,000-X$$100$$p_h$$X$$5$$p = {p_h}^5$

나는 한 걸음 더 나아가서 이항 분포 주위를 감쌀 수도 있습니다 : 확률 (세트에 모든 항목이있을 확률)로 머리에 나오는 동전이 있고 그것을 번 , 머리 를 얻을 확률 ? .$p_h$$5$$5$$p = {5\choose 5}{p_h}^5 (1-{p_h})^{5-5} = {p_h}^5$

5 개의 랜덤 샘플링에서 개의 항목이 나타날 확률은 얼마입니까?$X$

Hans의 말을 바탕으로 나머지 10000- 중에서 100 및 100- id 의 각 샘플에서 항상 동일한 id를 얻고 싶습니다 . 주어진 표본에 대해 그렇게 할 확률은 가능한 성공 상태를 가진 10000의 모집단에서 100을 그리는 성공에 대한 초기 하 함수에 의해 제공됩니다 . . 5 개 샘플의 경우 합니다.$X$$X$$X$$X$$X$$P = \frac{{X \choose X}{10000-X \choose 100-X}}{10000 \choose 100}$$P^5$

그러나, 우리 는 공유 된 id를 알고 있다고 가정하고, 그 id 를 선택하는 방법을 선택할 . 따라서 최종 답변은 입니다.$X$$10000 \choose X$$X$${10000 \choose X} P^5$