한 표본 t- 검정에서 분산 추정기에서 표본 평균이 대체되면 어떻게됩니까 ?

귀무 가설이 1- 표본 t- 검정을 가정 합니다. 그런 다음 표본 표준 편차 사용하여 통계는 입니다. 추정 할 때 관측 값을 표본 평균 과 비교합니다 .$\mu=\mu_0$$t=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$$s$$s$$\overline{x}$

$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}$ 입니다.

그러나 주어진 이 참 이라고 가정 하면 표본 평균 대신 사용하여 표준 편차 를 추정 할 수도 있습니다 .$\mu_0$$s^*$$\mu_0$$\overline{x}$

$s^*=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu_0)^2}$ .

나 에게이 접근법은 SD 추정에 귀무 가설을 사용하기 때문에 더 자연스럽게 보입니다. 결과 통계가 테스트에 사용되는지 아는 사람이 있습니까?

이 게시물의 원래 시뮬레이션에 문제가 있었으므로 이제 수정되었습니다.

표본 표준 편차의 추정에서 평균 벗어날 같은 분자와 함께 성장하는 경향이 있지만 하지 밖으로이 회전하기 때문에 큰 샘플, 중간에, "전형적인"유의 수준에서 전원을 모두 큰 영향을 미칠 여전히 거부하기에 충분히 큰 경향이 있습니다. 더 작은 표본에서는 효과가있을 수 있으며 매우 작은 유의 수준에서는 1보다 작은 검정력에 상한을두기 때문에 매우 중요 할 수 있습니다.s * / $\mu_0$$s^*/\sqrt n$

'공통'유의 수준에서 더 중요한 두 번째 문제는 검정 통계량의 분자와 분모가 더 이상 null에서 독립적이지 않은 것으로 보입니다 ( 의 제곱은 분산 추정치와 상관 됨) .$\bar x-\mu$

이는 테스트에서 더 이상 null 아래에 t- 분포가 없음을 의미합니다. 치명적인 결함은 아니지만 테이블을 사용하고 원하는 중요성 수준을 얻을 수는 없습니다 (분 후에 볼 수 있음). 즉, 테스트는 보수적이되어 전력에 영향을 미칩니다.

n이 커짐에 따라이 의존성은 문제가되지 않습니다 (적어도 분자에 대한 CLT를 호출하고 Slutsky의 정리를 사용하여 수정 된 통계에 대한 점근 법 정규 분포보다 더하기 때문에).

다음은 일반적인 두 표본 t (자주색 곡선, 두 개의 꼬리 검정) 및 (파란색 점, 시뮬레이션을 통해 얻은 t- 표)를 계산할 때 null 값 을 사용한 검정에 대한 검정력 곡선입니다. 모집단 평균은 가정 된 값에서 멀어짐, : s n = $\mu_0$$s$$n=10$

$\quad\quad\quad\quad$ n = 10

거듭 제곱 곡선이 낮다는 것을 알 수 있습니다 (샘플 크기가 작을수록 훨씬 더 나빠짐). 분자와 분모 사이의 의존도가 유의 수준을 낮추었 기 때문인 것 같습니다. 임계 값을 적절하게 조정하면 n = 10에서도 그 값이 거의 없습니다.

그리고 여기에 전력 곡선이 있습니다. 그러나 이제$n=30$

$\quad\quad\quad\quad$ n = 30

이는 매우 작은 유의 수준을 사용할 필요가없는 한 작은 표본 크기가 아닌 경우 그 사이에 그다지 많은 것이 없다는 것을 의미합니다.

귀무 가설이 참이면 통계량은 정규 t- 검정 통계량과 비슷해야합니다 (표준 편차 를 계산할 때는 평균을 추정하기 위해 자유도를 소비하지 않기 때문에 대신 나눠야 함) ). 귀무 가설이 참일 때 (인구 평균은 입니다.n - 1 μ $n$$n-1$$\mu_0$

그러나 이제 귀무 가설이 사실이 아닌 경우 어떻게되는지 고려하십시오. 이는 표준 오차를 계산할 때 실제 평균이 아닌 값 또는 실제 평균의 추정치를 뺀다는 것을 의미합니다. 실제로 x 값 범위 내에 있지 않은 값을 뺄 수도 있습니다. 이는 이 실제 평균에서 멀어짐에 따라 표준 편차를 더 크게 만듭니다 ( 는 표준 편차를 최소화하도록 보장됩니다) . 따라서 귀무가 거짓이면 통계에서 분자와 분모를 모두 증가시켜 귀무 가설을 기각 할 확률을 줄입니다 (그리고 t- 분포로 분포되지 않음). μ$\bar{x}$$\mu_0$

따라서 null이 true이면 어느 쪽이든 작동하지만 null이 false 일 경우 를 사용하면 더 나은 성능 (및 아마도 다른 속성도)을 제공하므로 선호됩니다. $\bar{x}$