2D 정규 분포 반지름의 샘플링 분포

평균 및 공분산 행렬 갖는 이변 량 정규 분포는 반지름 및 각도 극좌표 로 다시 쓸 수 있습니다 . 내 질문은 : 샘플 공분산 행렬 주어 졌을 때 의 샘플링 분포 , 즉 점 에서 추정 된 중심 까지의 거리는 얼마입니까? $\mu$ $\Sigma$ $r$ $\theta$ $\hat{r}$ $x$ $\bar{x}$ $S$

배경 : 점 에서 평균 까지 의 실제 거리 $r$ 은 Hoyt 분포를 따릅니다 . 고유치와 의 및 , 형상 파라미터가 이며 스케일 매개 변수는 입니다. 누적 분포 함수는 두 Marcum Q 함수의 대칭적인 차이로 알려져 있습니다. $x$ $\mu$ $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ $\Sigma$ $\lambda_{1} > \lambda_{2}$ $q=\frac{1}{\sqrt{(\lambda_{1}+\lambda_{2})/\lambda_{2})-1}}$ $\omega = \lambda_{1} + \lambda_{2}$

시뮬레이션은 및 에 대한 추정 $\bar{x}$ 및 $S$ 를 실제 cdf에 연결하면 큰 샘플에는 작동하지만 작은 샘플에는 작동하지 않습니다. 다음 다이어그램은 200 번의 결과를 보여줍니다. $\mu$ $\Sigma$

주어진 $q$ ( $x$ 축), $\omega$ (행) 및 Quantile (열)의 각 조합에 대해 20 개의 2D 법선 벡터 시뮬레이션
각 샘플에 대해 관측 된 반경의 주어진 Quantile을 계산합니다. $\hat{r}$ ~ $\bar{x}$
각 표본에 대해 이론적 Hoyt (2D 법선) cdf 및 표본 추정치 $\bar{x}$ 및 꽂은 후 이론적 Rayleigh cdf에서 Quantile을 계산합니다 $S$ .

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

마찬가지로 (분포가 원형이된다)에 접근 한, 추정 호이트의 분위는 영향을받지 추정 레일리 분위수 접근 . 으로 특히 분포의 꼬리에서 경험 분위 추정 사람들이 증가 사이의 차이를, 성장한다. $q$ $q$ $\omega$

— 스라소니
소스

질문이 뭐야?

— John

@John은 다음과 같은 질문을 강조했다. "[반지름]

의 샘플링 분포는 무엇입니까 ? 즉, 샘플 공분산 행렬

주어진 점

에서 추정 된 중심

까지의 거리는 얼마입니까?"

r

$r$

x

$x$

\bar{x}

$\bar{x}$

S

$S$

— caracal

왜

반대로

\hat{r}

$\hat{r}$

\hat{r^{2}}

$\hat{r^2}$

— SomeEE

@MathEE는

단순히 때문에 내가 (사실)의 분포와 관련되어 알고있는 문헌

,하지 (참)

. 이것은이 질문 에서 논의 된 마할 라 노비스 거리의 상황과는 다르다는 점에 유의하십시오 . 물론,의 분포에 대한 결과

매우 환영 할 것이다.

\hat{r}

$\hat{r}$

r

$r$

r^{2}

$r^{2}$

{\hat{r}}^{2}

$\hat{r}^{2}$

— caracal

당신이 게시물에 언급 한 바와 같이 우리의 추정치의 분포를 알고 우리가 주어지면 우리는 추정치의 분포를 알 수 있도록 진실의 . $\widehat{r_{true}}$ $\mu$ $\widehat{r^2_{true}}$ $r^2$

우리는 의 분포를 싶습니다여기서는 열 벡터로 표시됩니다.

\hat{{아르 자형}^{2}} = \frac{1}{엔} \sum_{나는 = 1}^{엔} ({엑스}_{나는} - \bar{엑스})^{티} ({엑스}_{나는} - \bar{엑스})

$\widehat{r^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-\overline{x})^T(x_i-\overline{x})$

x_{i}

$x_i$

우리는 이제 표준 트릭을 수행합니다

여기서은 식에서 발생합니다.

\begin{array}{rcl} \hat{{아르 자형}_{티 아르 자형 유 이자형}^{2}} & = & \frac{1}{엔} \sum_{나는 = 1}^{엔} ({엑스}_{나는} - μ)^{티} ({엑스}_{나는} - μ) \\ = & \frac{1}{엔} \sum_{나는 = 1}^{엔} ({엑스}_{나는} - \bar{엑스} + \bar{엑스} - μ)^{티} ({엑스}_{나는} - \bar{엑스} + \bar{엑스} - μ) \\ = & [\frac{1}{엔} \sum_{나는 = 1}^{엔} ({엑스}_{나는} - \bar{엑스})^{티} ({엑스}_{나는} - \bar{엑스})] + (\bar{엑스} - μ)^{티} (\bar{엑스} - μ) (1) \\ = & \hat{{아르 자형}^{2}} + (\bar{엑스} - μ)^{티} (\bar{엑스} - μ) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \widehat{r^2_{true}} &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^T(x_i-\mu)\\ &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x} + \overline{x} -\mu)^T(x_i-\overline{x} + \overline{x}-\mu)\\ &=&\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T(x_i-\overline{x})\right] + (\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu) \hspace{20pt}(1)\\ &=& \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu) \end{eqnarray*}$

(1)

$(1)$

및 조옮김.

\frac{1}{엔} \sum_{나는 = 1}^{엔} ({엑스}_{나는} - \bar{엑스})^{티} (\bar{엑스} - μ) = (\bar{엑스} - \bar{엑스})^{티} (\bar{엑스} - μ) = 0

$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^T(\overline{x}-\mu) = (\overline{x} - \overline{x})^T(\overline{x} - \mu) = 0$

알 샘플 공분산 행렬의 트레이스이고 및 만을 선택 샘플에 따라 평균 . 따라서 우리는 라고 썼습니다. $\widehat{r^2}$ $S$ $(\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$ $\overline{x}$

\hat{{아르 자형}_{티 아르 자형 유 이자형}^{2}} = \hat{{아르 자형}^{2}} + (\bar{엑스} - μ)^{티} (\bar{엑스} - μ)

$\widehat{r_{true}^2} = \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$ 두 개의 독립적 인 랜덤 변수의 합으로 우리는

와

의 분포를 알고 있으므로 특성 함수를 곱한 표준 트릭을 통해 수행됩니다.

\hat{r_{t r u e}^{2}}

$\widehat{r^2_{true}}$

(\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ)

$(\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu)$

추가하기 위해 편집 :

Hoyt이므로 pdf $||x_i-\mu||$ 여기서은첫 번째 종류의수정 된 Bessel 함수입니다.

에프 (ρ) = \frac{1 + 큐^{2}}{큐 ω} ρ {이자형}^{- \frac{(1 + 큐^{2})^{2}}{4 큐^{2} ω} ρ^{2}} {나는}_{영형} (\frac{1 - 큐^{4}}{4 큐^{2} ω} ρ^{2})

$f(\rho) = \frac{1+q^2}{q\omega}\rho e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega} \rho^2}I_O\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega} \rho^2\right)$

I_{0}

$I_0$

0^{t h}

$0^{th}$

이는 pdf의 는 $||x_i-\mu||^2$

에프 (ρ) = \frac{1}{2} \frac{1 + 큐^{2}}{큐 ω} {이자형}^{- \frac{(1 + 큐^{2})^{2}}{4 큐^{2} ω} ρ} {나는}_{0} (\frac{1 - 큐^{4}}{4 큐^{2} ω} ρ) .

$f(\rho) = \frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}\rho}I_0\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega}\rho\right).$

$a = \frac{1-q^4}{4q^2\omega}$ $b=-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}$ $c=\frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}$

$||x_i-\mu||^2$

{\begin{cases} \frac{씨}{\sqrt{(에스 - 비)^{2} - ㅏ^{2}}} & (에스 - 비) > ㅏ \\ 0 & 그밖에 \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s-b)^2-a^2}} & (s-b) > a\\ 0 & \text{ else}\\ \end{cases}$

$\widehat{r^2_{true}}$

{\begin{cases} \frac{씨^{엔}}{((에스 / 엔 - 비)^{2} - ㅏ^{2})^{엔 / 2}} & (에스 / 엔 - 비) > ㅏ \\ 0 & 그밖에 \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^N}{((s/N-b)^2-a^2)^{N/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{else} \end{cases}$

| | \bar{x} - μ | |^{2}

$||\overline{x} - \mu||^2$

{\begin{cases} \frac{엔 씨}{\sqrt{(에스 - 엔 비)^{2} - (엔 ㅏ)^{2}}} = \frac{씨}{\sqrt{(에스 / 엔 - 비)^{2} - ㅏ^{2}}} & (에스 / 엔 - 비) > ㅏ \\ 0 & 그밖에 \end{cases}

$\begin{cases} \frac{Nc}{\sqrt{(s-Nb)^2-(Na)^2}} = \frac{c}{\sqrt{(s/N-b)^2-a^2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else} \end{cases}$

이것은 의 모멘트 생성 함수 임을 의미합니다. $\widehat{r^2}$

{\begin{cases} \frac{씨^{엔 - 1}}{((에스 / 엔 - 비)^{2} - ㅏ^{2})^{(엔 - 1) / 2}} & (에스 / 엔 - 비) > ㅏ \\ 0 & 그밖에 . \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^{N-1}}{((s/N-b)^2-a^2)^{(N-1)/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else}. \end{cases}$

$\widehat{r^2}$

지 (ρ) = \frac{\sqrt{π} 엔 씨^{엔 - 1}}{Γ (\frac{엔 - 1}{2})} {(\frac{2 나는 ㅏ}{엔 ρ})}^{(2 - 엔) / 2} {이자형}^{비 엔 ρ} {제이}_{엔 / 2 - 1} (나는 ㅏ 엔 ρ) .

$g(\rho) = \frac{\sqrt{\pi}Nc^{N-1}}{\Gamma(\frac{N-1}{2})}\left(\frac{2\mathrm{i} a}{N\rho}\right)^{(2 - N)/2} e^{b N \rho} J_{N/2-1}( \mathrm{i} a N \rho).$

— SomeEE
소스

감사합니다! 수락하기 전에 세부 사항을 해결해야합니다.

— caracal

\hat{r_{true}^{2}} \sim Hoyt

$\widehat{r^{2}_{\text{true}}} \sim \text{Hoyt}$

| | \bar{x} - μ | |^{2} \sim N (0, \frac{1}{N} Σ)

$||\bar{x}-\mu||^{2} \sim \mathcal{N}(0, \frac{1}{N}\Sigma)$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

Σ

$\Sigma$

t

$t$

전체 답변에 대한 답변을 수정했습니다. 동의하면 알려주십시오.

— SomeEE

Σ

$\Sigma$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^2}$

S

$S$

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} S^{- 1} (x_{i} - \bar{x})

$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T S^{-1}(x_i-\overline{x})$

1

$1$

| | x_{i} - μ | |^{2}

$||x_{i}-\mu||^{2}$

r^{2}

$r^{2}$

Γ (q, \frac{ω}{q})

$\Gamma(q, \frac{\omega}{q})$

Γ

$\Gamma$