선형 가우스 칼만 필터에 대한 LogLikelihood 모수 추정

n 차원 상태 벡터에 대한 선형 가우스 상태 공간 분석을 위해 칼만 필터링 (여러 칼만 유형 필터 [Information Filter et al.] 사용)을 수행 할 수있는 코드를 작성했습니다. 필터가 훌륭하게 작동하고 좋은 결과를 얻었습니다. 그러나 로그 우도 추정을 통한 매개 변수 추정은 혼란 스럽습니다. 나는 통계학자가 아니라 물리학 자이기 때문에 친절하세요.

선형 가우스 상태 공간 모델을 고려해 봅시다

$$y_t = \mathbf{Z}_{t}\alpha_{t} + \epsilon_{t},$$ $$\alpha_{t + 1} = \mathbf{T}_{t}\alpha_{t} + \mathbf{R}_{t}\eta_{t},$$

여기서 는 관측 벡터, 시간 단계 에서의 상태 벡터 . 굵게 표시된 수량은 고려중인 시스템의 특성에 따라 설정된 상태 공간 모델의 변환 행렬입니다. 우리도 가지고있다$y_{t}$$\alpha_{t}$$t$

$$\epsilon_{t} \sim NID(0, \mathbf{H}_{t}),$$ $$\eta_{t} \sim NID(0, \mathbf{Q}_{t}),$$ $$\alpha_{1} \sim NID(a_{1}, \mathbf{P}_{1}).$$

여기서 입니다. 이제, 유도 초기 파라미터를 추측 분산 행렬하여 일반 상태 공간 모델의 칼만 필터에 대한 재귀 구현 와 I가 플롯을 생성 할 처럼$t = 1,\ldots, n$$\mathbf{H}_{1}$$\mathbf{Q}_{1}$

포인트는 100 년 동안 1 월의 나일 강 수위이고, 선은 칼람 추정 상태이며, 파선은 90 % 신뢰 수준입니다.

이제이 1D 데이터 세트의 경우 및 행렬 은 각각 스칼라 및 입니다. 이제 Kalman Filter의 출력과 loglikelihood 함수를 사용하여 이러한 스칼라에 대한 올바른 매개 변수를 얻고 싶습니다.Q t σ ϵ σ $\mathbf{H}_{t}$$\mathbf{Q}_{t}$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$

$$\log L(Y_{n}) = -\frac{np}{2}\log(2\pi) - \frac{1}{2}\sum^{n}_{t = 1}(log|\mathbf{F}_{t}| + v^{\mathsf{T}}_{t}\mathbf{F}_{t}^{-1}v_{t})$$

여기서 는 상태 오류이고 는 상태 오류 분산입니다. 자, 여기 혼란 스러워요. 칼만 필터에서 을 해결하는 데 필요한 모든 정보 를 얻었지만 및 의 최대 가능성을 계산할 수있는 것으로 보이지 않습니다 . 내 질문은 로그 가능성 접근법과 위의 방정식을 사용하여 및 의 최대 가능성을 어떻게 계산할 수 있습니까? 알고리즘 분석은 나에게 차가운 맥주와 같을 것입니다 ...$v_{t}$$\mathbf{F}_{t}$$L$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$

시간 내 줘서 고마워.

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노트. 1D 경우 및 입니다. 이것은 일 변량 로컬 수준 모델입니다.$\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\epsilon}$$\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\eta}$

주어진 및 값으로 Kalman 필터를 실행하면 일련의 혁신 및 공분산 을 얻을 수 있으므로 수식을 사용하여 값 . σ 2 η ν $\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$$\nu_t$$\boldsymbol{F_t}$$\log L(Y_n)$

즉, 칼만 필터를 및 의 내재 함수를 계산하는 방법으로 간주 할 수 있습니다 . 그런 다음이 계산을 함수 또는 서브 루틴으로 패키지하고 해당 함수를 R에서 와 같이 최적화 루틴으로 처리해야합니다 .이 함수는 입력으로 받아 들여야합니다. 및 및 반환 합니다.$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$optim$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$$\log L(Y_n)$

R의 일부 패키지 (예 dlm:)가이를 수행합니다 (예 : function 참조 dlmMLE).