왜

문제 세트에서 나는이 "레마"를 증명했다. 그 결과는 나에게는 직관적이지 않다. $Z$ 는 검열 모형의 표준 정규 분포입니다.

공식적으로 $Z^* \sim Norm(0, \sigma^2)$ 이고 $Z = max(Z^*, c)$ 입니다. 그런 다음

\begin{aligned} E [Z | Z > c] & = \int_{c}^{\infty} z_{i} ϕ (z_{i}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{c}^{\infty} z_{i} \exp (\frac{- 1}{2} z_{i}^{2}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (\frac{- 1}{2} c^{2}) (Integration by substitution) \\ = ϕ (c) \end{aligned}

$\begin{align} E[Z|Z>c] &= \int_c^\infty z_i \phi({z_i})\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_c^\infty z_i \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}z_i^2\bigg)\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}c^2\bigg) \quad\quad\quad\quad\text{ (Integration by substitution)}\\ &= \phi(c) \end{align}$ 따라서 잘린 도메인에 대한 기대 공식과 절단 지점의 밀도

사이에는 어떤 연관성이

(c)

$(c)$ 있습니다. 누구든지 이것의 직관을 설명 할 수 있습니까?

normal-distribution pdf intuition

— 하이젠 베르크
소스

그것은

항이 지수에서 항의 미분의 음수라는 사실의 결과임이 밝혀졌다 ; 그것은 표준 법선에 대한 많은 깔끔한 결과 중 하나이지만 반드시 그 뒤에 직관이있는 것은 아닙니다. 반면에 여기 영리한 사람들 중 한 명이 그것에 대한 직관을 생각해 낼 수 있다면 전혀 놀라지 않을 것입니다.

z

$z$

— Glen_b-복지 주 모니카

@Glen_b 당신이 말하는 것은

의 PDF 인임의의연속 분포

\int_{c}^{\infty} (- \frac{d}{d z} \log (f (z))) f (z) d z = - \int_{c}^{\infty} f^{'} (z) d z = f (c)

$\int_c^\infty \left(-\frac{d}{dz}\log(f(z))\right) f(z) dz = -\int_c^\infty f^\prime(z)dz = f(c)$

f

$f$

F .

$F.$

— whuber

@whuber 확실히 그럴 수 있으며, 그 결과가 질문의 결과와 직접적으로 관련되어 있기 때문에 그 결과를 강조하는 것이 좋습니다. 그러나 실제로 제 의견으로는 그 용어의 첫 번째가

인 경우를 구체적으로 언급하고 있습니다 ( " 기대 공식은 "의문에 있었다, 나는 그것을

. 그것은 정상에 특정한 것이다.

z

$z$

E (Z | Z > c)

$E(Z|Z>c)$

— Glen_b -Reinstate Monica

(조건부 기대에 대해 최소한 명백한 곱셈 상수까지). 단,

특정 용

E (g (Z) | Z > c)

$E(g(Z)|Z>c)$

는 아마도 대답할만한 가치가있을 것입니다.

g = - \frac{d}{d z} l o g f

$g=-\frac{d}{dz}log f$

— Glen_b-복지 주 모니카

최근 수정 사항은 잘못된 진술에 대한 증거 (또는 직관적 인 설명)를 요구합니다.

에서 조절 된

의 조건부 밀도 는

Z \sim N (0, 1)

$Z \sim N(0,1)$

Z > c

$Z > c$

및조건부기대 값이고, 따라서

\frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} 1_{{z : z > c}}

$\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\mathbf 1_{\{z\colon z > c\}}$

가 아니라 당신이 수정 된 제목에있다.

E [Z ∣ Z > c] = \int_{c}^{\infty} z \frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} d z = \frac{1}{1 - Φ (c)} \int_{c}^{\infty} z ϕ (z) d z

$E[Z\mid Z > c] = \int_c^{\infty}z\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\,\mathrm dz = \frac{1}{1-\Phi(c)}\int_c^{\infty}z\phi(z)\,\mathrm dz$

— Dilip Sarwate

미적분학 기본 정리가 직관으로 도움이 되겠습니까?

하자 밀도 함수를 나타내고 $\phi(x)$ 표준 정규 랜덤 변수의그러면 미분 값은 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ . 미적분학의 기본 정리 후 우리에게 그 제공 $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\phi(x) = -x\phi(x)$ 번째 적분 치환시켜 수득되는 경우 와 실제로 사용 와 그 주목시 제 . 대안에서 적분으로서 제 2 적분 쓰기 에 대한 플러스 적분로부터 로를 및 참고으로부터 홀수 함수를 적분

ϕ (엑스) = \int_{- \infty}^{엑스} - 티 ϕ (티) 디 티 = \int_{- 엑스}^{\infty} 유 ϕ (유) 디 유 = \int_{엑스}^{\infty} 유 ϕ (유) 디 유

$\phi(x) = \int_{-\infty}^x -t\phi(t)\,\mathrm dt = \int_{-x}^\infty u\phi(u)\,\mathrm du = \int_x^\infty u\phi(u)\,\mathrm du$

u = - t

$u = -t$

ϕ (- u) = ϕ (u)

$\phi(-u) = \phi(u)$

ϕ (- x) = ϕ (x)

$\phi(-x) = \phi(x)$

- x

$-x$

+ x

$+x$

+ x

$+x$

\infty

$\infty$

- x

$-x$ 행

결과

+ x

$+x$

0

$0$

— 디립 사르 베이트
소스