모멘트가 없을 때의 CLT 예

고려 $X_n = \begin{cases} 1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ -1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ 2^k & \text{w.p. } 2^{-k} \text{ for } k > n\\ \end{cases}$

이 순간에 무한한 순간이 있더라도

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n}) \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\sqrt{n}(\bar{X}_n) \overset{d}{\to} N(0,1)$

나는 Levy 's Continuity Theorem을 사용하여 이것을 보여 보았습니다. 즉, 왼쪽의 특징적인 기능이 표준 법선의 특징적인 기능으로 수렴한다는 것을 보여 주려고 노력했습니다. 그러나 이것은 보여줄 수없는 것처럼 보였다.

이 문제에 대한 힌트는 각 를 자르는 것입니다 . 즉 하고 Lindeberg 조건을 사용하여 입니다. $X_i$ $Y_{ni} = X_i I\{X_i \leq n\}$ $\sqrt{n} \bar{Y}_n \overset{d}{\to} N(0,1)$

그러나 Lyapunov 조건이 만족됨을 보여줄 수 없었습니다. 주로 가 원하는대로 동작하지 않기 때문 입니다. 가 -1과 1의 값만 가져 오길 원 하지만 구성 방식에 따라 $Y_{ni}$ $Y_{ni}$ $-1, 1, 2^{i+1}, 2^{i+2}, \dots, 2^{\lfloor\log_2 n\rfloor}$

— 그린 파커
소스

당신이에서 절단하는 경우 잘린 변수가 취할 수있는 값에 대해 신중하게 마지막 단락을 확인합니다. 어쨌든 대신 로 자르고 Borel-Cantelli를 사용한 다음 Slutsky를 사용하여 결과를 얻으십시오. 잘린 조각에 Lindeberg 또는 Lyapunov를 사용할 수 있어야합니다 (실제로는 확인하지는 않았지만).

n

$n$

1

$1$

— 추기경

미안합니다. "무한"순간으로 변경

— Greenparker

@cardinal 나는 가 다시 취할 수 있는 가능한 값을 넘어서서 로그 용어에 바닥을 추가했습니다. 그렇지 않으면 값이 올바른 것 같습니다. 1에서 원하는 값 을 얻게되고 Lindeberg 조건을 적용하여 법선에 수렴 할 수 있습니다. 그러나 이것이

Y_{n i}

$Y_{ni}$

Y_{n i}

$Y_{ni}$

\sqrt{n} {\bar{X}}_{n}

$\sqrt{n} \bar{X}_n$

— Greenparker

" "은 무엇입니까? 당신은 샘플 또는 각각의 여러 인스턴스가있는 컨텍스트 설명하지 않은 - 어디서, 어떤 질문에 명시되어 주어진 이 표기법의 유일하게 가능한 독서에 대한 것은 그것의 평균을 의미한다는 것입니다 - 이다, 항상 무한하며 분포가 아닌 숫자입니다. 따라서 iid 샘플을 고려하고 있다고 생각 해야 하지만, 이를 알려야하며 특히 샘플 크기를 규정해야합니다.

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

X_{n}

$X_n$

X_{n}

$X_n$

X_{n}

$X_n$

— whuber

@cardinal의 의견을 기반으로 한 답변은 다음과 같습니다.

표본 공간이 확률 적 프로세스 경로 및 의 경로 공간이되도록하겠습니다. 여기서 . Lindeberg 조건 ( Wikipedia의 표기법 준수 )은 다음에 대해 충족됩니다. 위한 임의 으로서 마다 $(X_i)_{i=0}^{\infty}$ $(Y_i)_{i=0}^{\infty}$ $Y_i=X_i \mathbb{1}_{\{X_i\leq 1\}}$

\frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{i = 0}^{n} E (Y_{i}^{2} 1_{{| Y_{i} | > ϵ s_{n}^{2}}}) \leq \frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{i = 0}^{n} P (| Y_{i} | > ϵ s_{n}^{2}) \to 0,

$\frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n \mathbb E (Y_i^2 \mathbb{1}_{\{|Y_i|> \epsilon s_n^2\}})\leq \frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n P(|Y_i|> \epsilon s_n^2)\to0,$

ϵ

$\epsilon$

s_{n}^{2} \to \infty

$s_n^2\to \infty$

n \to \infty .

$n\to \infty.$

또한 이후 Borel-Cantelli의 이므로 입니다. 다르게 말하면, 와 는 거의 확실하게 거의 자주 다릅니다. $P(X_i\neq Y_i, i.o.) = 0$ $P(X_i \neq Y_i)=2^{-i}$ $\sum_{i=0}^{\infty} P(X_i \neq Y_i) = 2<\infty$ $X_i$ $Y_i$

및 대해 동일하게 정의하십시오 . 유한하게 많은 대해서만 되도록 의 샘플 경로를 선택하십시오 . 이 용어를 색인화하십시오 . 이 경로에서 도 유한해야합니다. 이러한 경로의 경우 여기서 . 또한 충분히 큰 에 대해 $S_{X,n}=\sum_{i=0}^{n} X_i$ $S_{Y,n}$ $(X_i)_{i=1}^{\infty}$ $X_i > 1$ $i$ $\mathcal{J}$ $X_j,j\in \mathcal{J}$

\frac{S_{J}}{\sqrt{n}} \to 0, as n \to \infty

$\frac{S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}} \to 0,\text{ as }n\to \infty$

S_{J} := \sum_{j \in J} X_{j}

$S_{\mathcal{J}}:=\sum_{j\in \mathcal{J}}X_j$

n

$n$

S_{X, n} - S_{Y, n} = S_{J} .

$S_{X,n}-S_{Y,n}=S_{\mathcal{J}}.$

가 거의 유한 하다는 사실과 함께 Borel-Cantelli 결과를 사용하면 샘플 경로가 요구 사항을 준수 할 확률이 하나라는 것을 알 수 있습니다. 다시 말해, 다른 항은 거의 확실하게 0이됩니다. 따라서 Slutsky의 이론에 따르면 충분히 큰 , 여기서 입니다. $X_i$ $n$

\frac{1}{\sqrt{n}} S_{X, n} = \frac{S_{Y, n} + S_{J}}{\sqrt{n}} \overset{d}{\to} ξ + 0,

$\frac{1}{\sqrt{n}}S_{X,n}=\frac{S_{Y,n}+S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}}\overset{d}{\to}\xi+0,$

ξ \sim N (0, 1)

$\xi\sim N(0,1)$

— ekvall
소스