Distribution \ CLT의 컨버전스

주어진 , 조건부 DISTR. 의 이다 . 에는 한계 편차가 있습니다. Poisson ( )에서 는 양의 상수입니다. $N = n$ $Y$ $\chi ^2(2n)$ $N$ $\theta$ $\theta$

그보기로서 , 분포이다. $\theta \rightarrow \infty$ $\space \space (Y - E(Y))/ \sqrt{\operatorname{Var}(Y)} \rightarrow N(0,1)$

누구든지 이것을 해결할 전략을 제안 할 수 있습니까? CLT (Central Limit Theorem)를 사용해야하는 것처럼 보이지만 에 대한 정보는 자체적 으로 얻기가 어렵습니다 . 샘플을 채취하여 를 생성하기 위해 도입 할 수있는 rv가 있습니까? $Y$ $Y$

이것은 숙제이므로 힌트를 주셔서 감사합니다.

— 사용자
소스

나에게도 미묘한 것 같습니다. 아마도 그것은 이미 당신에게 분명하지만, theta-> Infinity로 N은 어떻게됩니까?

— PeterR

N의 분포를 살펴 봐야합니까? 내가 가지고 놀면 pdf는 항상 0 인 것처럼 보입니다. 이것에서 무엇을 추론 할 수 있습니까?

— user42102

포아송 (세타) 랜덤 변수의 평균은 무엇입니까?

— PeterR

이 질문에서 N과 CLT 정의에서 샘플 크기 n을 섞었습니다. 따라서 입니다. 따라서 우리는 N의 예상 값이 무한대에 도달한다는 것을 알 수 있습니다. 그래도 여기서 어디로 가야할지 모르겠습니다.

E (N) = θ

$E(N) = \theta$

— user42102

비 중앙 카이 제곱 분포를 조사해야합니다. 한계가 정상임을 증명하는 것은 내가 두려워하는 CLT의 간단한 적용보다 더 복잡해질 것입니다.

— caburke

답변:

특성 함수의 속성을 기반으로 솔루션을 제공하며 이는 다음과 같이 정의됩니다. 분포는 특성 함수에 의해 고유하게 정의되므로 그리고 그로부터 원하는 수렴이 뒤 따릅니다.

ψ_{X} (t) = E \exp (i t X) .

$\psi_X(t)=E\exp{(itX)}.$

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} \to ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty,

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}\rightarrow \psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty,$

이를 위해 나는 평균과 분산을 계산해야하며 , 여기에는 총 기대 / 분산 법칙이 사용됩니다-http: //en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_expectation . 포아송 분포의 평균과 분산이 와 평균 및 분산 은 및 입니다. 이제 미적분학에 특징적인 기능이 있습니다. 처음에 I가 정의 재기록 아니라 $Y$

E Y = E {E (Y | N)} = E {2 N} = 2 θ

$EY=E\{E(Y|N)\}=E\{2N\}=2\theta$

V a r (Y) = E {V a r (Y | N)} + V a r {E (Y | N)} = E {4 N} + V a r (2 N) = 4 θ + 4 V a r (N) = 8 θ

$Var(Y)=E\{Var(Y|N)\}+Var\{E(Y|N)\}=E\{4N\}+Var(2N)=4\theta+4Var(N)=8\theta$

E N = V a r (N) = θ

$EN=Var(N)=\theta$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

E (Y | N = n) = 2 n

$E(Y|N=n)=2n$

V a r (Y | N = n) = 4 n

$Var(Y|N=n)=4n$

Y

$Y$

Y = \sum_{n = 1}^{\infty} Z_{2 n} I_{[N = n]}, where Z_{2 n} \sim χ_{2 n}^{2}

$Y=\sum_{n=1}^{\infty}Z_{2n}I_{[N=n]}, \text{ where } Z_{2n}\sim \chi^2_{2n}$ 이제 나는 이라는 를 사용합니다. 의 특성 함수 은 이며 여기에서 가져옵니다 : http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory)

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n)

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

ψ_{Z_{2 n} (t)} = (1 - 2 i t)^{- n}

$\psi_{Z_{2n}(t)}=(1-2it)^{-n}$

이제 우리 는 대한 Taylor 확장을 사용하여 대한 특성 함수를 계산합니다. 결국 우리는 특성 함수의 속성을 사용합니다 지금까지 계산이 너무 길어서 미적분 위로 뛰어 넘었습니다. $Y$ $\exp(x)$

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n) = \sum_{n = 1}^{\infty} (1 - 2 i t)^{- n} \frac{θ^{n}}{n!} \exp (- θ) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{θ}{(1 - 2 i t)})}^{n} \frac{1}{n!} \exp (- θ) = \exp (\frac{θ}{1 - 2 i t}) \exp (- θ) = \exp (\frac{2 i t θ}{1 - 2 i t})

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)=\sum_{n=1}^{\infty}(1-2it)^{-n}\frac{\theta^n}{n!}\exp{(-\theta)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\theta}{(1-2it)}\right)^n\frac{1}{n!}\exp{(-\theta)}=\exp(\frac{\theta}{1-2it})\exp(-\theta)=\exp(\frac{2it\theta}{1-2it})$

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} (t) = \exp (- i \frac{E Y}{\sqrt{V a r Y}}) ψ_{Y} (t / \sqrt{V a r Y}) = \exp (- \frac{t^{2}}{2}) \exp (- 1 + 2 i \frac{t}{\sqrt{8 θ}}) \to \exp (- \frac{t^{2}}{2}) = ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}(t)=\exp(-i\frac{EY}{\sqrt{VarY}})\psi_Y(t/\sqrt{VarY})= \\\exp(-\frac{t^2}{2})\exp{(-1+2i\frac{t}{\sqrt{8\theta}})}\rightarrow \exp(-\frac{t^2}{2})=\psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty$

— 핌바
소스

이것은 비 중심 카이 제곱 분포와의 관계를 통해 표시 될 수 있습니다. 내가 자유롭게 참조 할 좋은 위키 백과 기사가 있습니다! https://ko.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squared_distribution

당신은 주어진 한 와 chisquare을 배포 에 대한, 자유도 . 여기서 은 기대 값이 Poisson 분포입니다 . $Y|N=n$ $2 n$ $n=0,1,\dots, \infty$ $N$ $\theta$

그러면 우리는 과 같이 총 확률의 법칙을 사용하여 의 밀도 함수를 무조건적으로 작성할 수 있습니다 인 거의 자유 파라미터의 수준을 제외하고는 비 중앙 chisquared 변수의 밀도이며, 은 실제로 정의되어 있지 않습니다. (이것은 위키 백과 기사의 정의 섹션에 있습니다). $Y$

f_{Y} (y; 0, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i}} (y)

$f_Y(y; 0, \theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i}}(y)$

k = 0

$k=0$

따라서 명확한 정의를 얻으려면 위 공식을 하는 것이다 와 noncentral chisquared 가변 밀도 비 중심적 파라미터의 자유도 . 따라서 분석에서 우리는 limit 취한 후 때 한계를 취하는 것을 기억해야합니다 . 의 한계 에서 의 확률 때문에 이것은 문제가되지 않는다

f_{Y} (y; k, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i + k}} (y)

$f_Y(y; k,\theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i+k}}(y)$

k

$k$

2 θ

$2\theta$

k \to 0

$k \rightarrow 0$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

N = 0

$N=0$ 0 일 때 점 질량이 사라집니다 (자유도가 0 인 chisquared 변수는 0 일 때 점 질량으로 해석되므로 밀도 함수가 없음).

이제 각 고정 에 대해 wiki, 섹션 관련 분포, 정규 근사값을 사용하여 각 대한 표준 정규 한계를 . 그런 다음 가 0이 될 때 제한을 취 하면 결과가 나타납니다. $k$ $k$ $k$

— 크 제틸 비 할보 르센
소스