정규 분포를 따르는 두 개의 랜덤 변수의 합계에 대한 기여에 대한 직관적 인 설명

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평균 및 및 표준 편차 및 갖는 두 개의 정규 분포 독립 랜덤 변수 $X$ 및 $Y$ 가 있고 임을 발견 하면 (오류가 없다고 가정) 조건부 분포 의 및 주어진 또한 일반적으로 수단 분포 $\mu_X$ $\mu_Y$ $\sigma_X$ $\sigma_Y$ $X+Y=c$ $X$ $Y$ $c$

μ_{X | c} = μ_{X} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{X}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{X|c} = \mu_X + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_X^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

및 표준 편차

μ_{Y | c} = μ_{Y} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{Y|c} = \mu_Y + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

σ_{X | c} = σ_{Y | c} = \sqrt{\frac{σ_{X}^{2} σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}} .

$\sigma_{X|c} = \sigma_{Y|c} = \sqrt{ \frac{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}}.$

조건부 표준 편차가 와 동일하다는 것은 놀라운 일이 아닙니다. 하나가 올라가면 다른 하나가 같은 양으로 내려 와야합니다. 조건부 표준 편차가 의존하지 않는 것이 흥미 롭습니다 . $c$ $c$

머리를 둥글게 할 수없는 것은 원래 표준 편차가 아니라 원래 분산에 비례 하는 초과 차지하는 조건부 수단 입니다. $(c - \mu_X - \mu_Y)$

$\mu_X=\mu_Y=0$ $\sigma_X =3$ $\sigma_Y=1$ $c=4$ $E[X|c=4]=3.6$ $E[Y|c=4]=0.4$ $9:1$ $3:1$

이것은 Math.SE 질문에 의해 유발되었습니다 .

normal-distribution conditional-probability

— 헨리
소스

답변:

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$\mu_X = \mu_Y = 0$ $X-\mu_X$ $Y-\mu_Y$

$X$ $Y$ $g(x,y) = x+y = c$ $f(x,y) = x^2/(2\sigma_X^2) + y^2/(2\sigma_Y^2) = \rho$ $\rho$ $\lambda$

(\frac{x}{σ_{X}^{2}}, \frac{y}{σ_{Y}^{2}}) = \nabla f (x, y) = λ \nabla g (x, y) = λ (1, 1) .

$\left(\frac{x}{\sigma_X^2}, \frac{y}{\sigma_Y^2}\right) = \nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y) = \lambda(1,1).$

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

조건부 분포 의 모드 (및 또한 평균)는 SD가 아닌 분산의 비율에 의해 결정됩니다.

$X$ $Y$

— 우버
소스

그것은 내가 요구했던 것보다 매우 인상적이며 오히려 완전합니다. 다이어그램과 타원의 접선이 타원의 중심을 통과하지 않는다는 설명에 만족했을 것입니다. 따라서 접선의 빨간색 점은 표준 편차가 높은 임의 변수에서 불균형 적으로 더 많이 가져와야합니다.

— Henry

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그것은 잘 표현되지 않았습니다. 내가 의미하는 것은 중심에서 빨간색 점까지의 선이 접선에 수직이 아닙니다.

— Henry

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