Ising 모델의 깁스 샘플링

숙제 질문 :

1-d Ising 모델을 고려하십시오.

이라고하자 . 는 -1 또는 +1입니다.X $x = (x_1,...x_d)$$x_i$

$\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

대략 목표 분포 에서 샘플을 생성하도록 깁스 샘플링 알고리즘을 설계하십시오 .$\pi(x)$

내 시도 :

벡터 을 채울 값 (-1 또는 1)을 임의로 선택하십시오 . 따라서 있습니다. 따라서 이것은 입니다.X = ( - 1 , - 1 , 1 , 1 , 1 , - 1 , 1 , 1 , . . . , 1 ) X $x = (x_1,...x_{40})$$x = (-1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1,...,1)$$x^0$

이제 첫 번째 반복을 진행해야합니다. 대해 40 개의 서로 다른 x를 별도로 그려야합니다 . 그래서...$x^1$

에서 그리기 π ( X 1 | X 0 2 , . . . , X 0 40$x_1^1$$\pi(x_1 | x_2^0,...,x_{40}^0)$

에서 그리기$x_2^1$$\pi(x_2 | x_1^1, x_3^0,...,x_{40}^0)$

에서 그리기$x_3^1$$\pi(x_3 | x_1^1, x_2^1, x_4^0,...,x_{40}^0)$

기타..

그래서 나를 배신하는 부분은 실제로 조건부 분포에서 어떻게 그리는가입니다. 어떻게 재생에 와서? 아마도 하나의 추첨의 예가 문제를 해결했을 것입니다.$\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

이 사건을 먼저보십시오. 의존하지 않는 항을 제거하면 됩니다. π ( x 1 ∣ x 2 , … , x d ) = π ( x 1 , x 2 , … , x d$x_1$P(X1=−1∣X2=x2,…,Xn=xn)=e − x

$$\pi(x_1\mid x_2,\dots,x_d) = \frac{\pi(x_1,x_2,\dots,x_d)}{\pi(x_2,\dots,x_d)} \propto e^{x_1 x_2}$$ P(X1=1∣X2=x2,…,Xn=xn)=e x $$P(X_1=-1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{-x_2}}{C}$$ e − x $$P(X_1=1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{x_2}}{C}$$ $$\frac{e^{-x_2}}{C} + \frac{e^{x_2}}{C} = 1 \Rightarrow C = 2 \cosh x_2$$

x_1 <- sample(c(-1, 1), 1, prob = c(exp(-x_2), exp(x_2)) / (2*cosh(x_2)))

그것을 일반화하십시오 (차이를 주목하십시오; Ilmari의 코멘트를 참조하십시오).$x_2,\dots,x_{40}$

Ising의 분석 결과 를 사용 하여 시뮬레이션을 확인할 수 있습니까?