나는 평신도의 관점에서 누군가가 특징적인 기능이 무엇이며 실제로 어떻게 사용되는지 설명 할 수 있기를 바랍니다. 나는 그것이 PDF의 푸리에 변환이라는 것을 읽었으므로 그것이 무엇인지 알 것 같지만 여전히 그 목적을 이해하지 못합니다. 누군가가 목적에 대한 직관적 인 설명과 일반적으로 사용되는 방법에 대한 예를 제공 할 수 있다면 환상적입니다!
마지막 참고 사항 : Wikipedia 페이지 를 보았지만 진행 상황을 이해하기에는 너무 조밀합니다. 내가 찾고있는 것은 확률 이론의 경이로움에 몰두하지 않은 사람이 컴퓨터 과학자라고 이해할 수있는 설명입니다.
답변:
당시 사람들은 로그 테이블을 사용하여 숫자를 더 빠르게 곱했습니다. 왜 이런거야? 이므로 로그는 곱셈을 더하기로 변환 합니다. 따라서 두 개의 큰 숫자 와 를 곱하기 위해 로그를 발견하고 로그 를 추가 한 다음 다른 테이블에서 를 찾아 보았습니다 .a b z = log ( a ) + log ( b ) exp ( z )
이제 특성 함수는 확률 분포에 대해 비슷한 기능을 수행합니다. 가정하자 메일 갖는다 및 분배 갖는다 , 그리고 및 독립적이다. 그러면 의 분포는 와 , 의 컨벌루션 입니다 .f Y g X Y X + Y f g f * g
이제 특성 함수는 컨볼 루션에 대한 "로그 테이블 트릭"과 유사합니다. 가 의 특성 함수 이면 다음 관계가 유지 되기 때문입니다 . f
또한 대수의 경우와 마찬가지로 특성 함수의 역함수를 쉽게 찾을 수 있습니다. 여기서 는 알 수없는 밀도 인 경우 의 역 푸리에 변환으로 를 얻을 수 있습니다 . h h ϕ h
특성 함수 변환해서 회선 에 승산 밀도 함수의 대수 변환하는 것과 동일한 방식으로 승산 에 또한 숫자. 두 변환 모두 비교적 복잡한 작업을 비교적 간단한 작업으로 변환합니다.
@ charles.y.zheng과 @cardinal은 매우 좋은 답변을했으며 2 센트를 추가하겠습니다. 예, 특징적인 기능은 불필요한 합병증처럼 보일 수 있지만 결과를 얻을 수있는 강력한 도구입니다. 누적 분포 함수를 사용하여 무언가를 증명하려는 경우 항상 특성 함수로 결과를 얻을 수 없는지 확인하는 것이 좋습니다. 이것은 때때로 매우 짧은 증거를 제공합니다.
처음에는 특성 함수가 확률 분포를 사용하는 직관적이지 않은 방법으로 보이지만 직접 관련된 강력한 결과가 있으므로이 개념을 단순한 수학적 즐거움으로 버릴 수 없습니다. 예를 들어, 확률 이론에서 내가 가장 좋아하는 결과는 무한 분할 가능한 분포 에 고유 한 레비-킨 치킨 표현이 있다는 것 입니다. 무한 분할 가능한 분포가 독립적 인 랜덤 변수의 합의 한계에 대한 유일한 가능한 분포라는 사실과 함께 (기괴한 경우는 제외) 이것은 중심 한계 정리가 도출 된 것을 사용하는 깊은 결과입니다.
특징 함수의 목적은 확률 이론에서 분포의 속성을 도출하는 데 사용될 수 있다는 것입니다. 그러한 파생물에 관심이 없다면 특징적인 기능에 대해 배울 필요가 없습니다.
특성 함수는 분포 밀도 함수의 푸리에 변환입니다. 푸리에 변환에 관한 직관이 있다면,이 사실은 깨달을 수 있습니다. 푸리에 변환에 대한 일반적인 이야기는 '주파수 공간에서'기능을 설명한다는 것입니다. 확률 밀도는 일반적으로 단조롭 기 때문에 (적어도 실제 세계에서 또는 실제 세계에서 만들어진 모델에서) 매우 흥미로운 것 같지는 않습니다.