이 데이터로 작성된 상자 그림을보고 왜도를 결정하는 방법 :
340, 300, 520, 340, 320, 290, 260, 330
한 책은 "하위 사 분위수가 위 사 분위수보다 중앙값에서 더 멀면 분포가 부정적으로 왜곡된다"고 말합니다. 다른 여러 출처는 거의 동일하다고 말했다.
R을 사용하여 상자 그림을 만들었습니다. 다음과 같습니다.
나는 그것의 것을 가지고 부정적으로 왜곡 낮은 분위수가 더 상위 분위보다 중간에서 때문에. 그러나 문제는 왜 다른 방법을 사용하여 왜도를 결정할 때입니다.
평균 (337.5)> 중앙값 (325)
이것은 데이터가 양으로 치우친 것을 나타냅니다 . 내가 뭐 놓친 거 없니?
답변:
왜도의 한 측정 단위는 평균- 피어슨의 두 번째 왜도 계수를 기반으로 합니다.
왜도의 다른 측정 값은 비율로 표현 된 상대 사 분위수 (Q3-Q2) 대 (Q2-Q1)을 기반으로합니다.
(Q3-Q2) 대 (Q2-Q1)이 대신 차이 (또는 동등하게 중간 범위 중앙값)로 표현되는 경우, IQR에 의해 치수가 (비대칭 측정에 일반적으로 필요한대로) 크기가 없도록 크기를 조정해야합니다. 여기에 ( 를 넣어서 ).
가장 일반적인 척도는 물론 3 차 왜도 입니다.
이 세 가지 조치가 반드시 일관된 이유는 없습니다. 그들 중 하나는 다른 두 가지와 다를 수 있습니다.
우리가 "왜도"로 간주하는 것은 다소 미끄러운 정의가 잘못된 개념입니다. 자세한 내용은 여기 를 참조 하십시오 .
정상적인 qqplot으로 데이터를 보면 :
[마지막으로 표시된 선은 패턴에서 마지막 두 점의 편차에 대해 논의하기 때문에 처음 6 점만 기준으로합니다.]
우리는 가장 작은 6 점이 거의 완벽하게 선상에 있음을 알 수 있습니다.
그런 다음 7 번째 점은 선 아래에 있고 (왼쪽 끝에서 해당하는 두 번째 점보다 상대적으로 중간에 더 가깝습니다), 8 번째 점은 위에 있습니다.
일곱 번째 요점은 마지막으로 강한 오른쪽으로 기울어 진 가벼운 왼쪽으로 기울임을 나타냅니다. 두 점 중 하나를 무시하면 왜도의 느낌이 다른 점에 의해 결정됩니다.
내가하면 한 말은 하나 또는 다른, 나는 그 "바로 스큐를"전화 싶지만 나는 또한 인상으로 인해 하나 매우 큰 포인트의 효과를 완전히이라고 지적 것이었다. 그것 없이는 그것이 정말로 비뚤어진다는 말이 없습니다. 반면에 7 포인트가 없으면 분명히 비뚤어지지 않습니다.
노출이 단일 지점에 의해 완전히 결정될 때 매우주의해야하며 한 지점을 제거하여 뒤집을 수 있습니다. 그것은 계속할 기초가 아닙니다!
나는 특이한 'outlying'을 만드는 것이 모델이라는 전제로 시작한다 (한 모델에 대한 특이 치는 다른 모델에서 꽤 일반적 일 수 있음).
지수 분포의 0.01 상위 백분위 수에 대한 관측 값이 지수 모델에 대한 것이므로 정규 0.01 (백분위 수 3.72 sds)의 0.01 상위 백분위 수 (1/10000)에 대한 관측치가 정규 모형과 동일하지 않다고 생각합니다. (자신의 확률 적분 변환으로 분포를 변환하면 각각 동일한 유니폼으로 이동합니다)
boxplot 규칙을 약간 오른쪽으로 치우친 분포에도 적용하는 문제를 보려면 지수 분포에서 큰 표본을 시뮬레이션하십시오.
예를 들어, 정규 크기에서 100 크기의 표본을 시뮬레이트하는 경우 표본 당 평균 1 개 미만의 특이 값을 나타냅니다. 지수로 계산하면 평균은 약 5입니다. 그러나 일반적인 모델과 비교하지 않으면 지수 값의 비율이 "외부"라는 실제 근거는 없습니다. 특정 상황에서 특정 형태의 특이한 규칙을 갖는 특별한 이유가있을 수 있지만, 일반적인 규칙은 없습니다.이 하위 섹션에서 시작한 것과 같은 일반적인 원칙이 있습니다. 각 모델 / 배포를 자체 조명으로 처리합니다. (모델과 관련하여 값이 비정상적이지 않은 경우 해당 상황에서 왜 특이 치라고 부릅니까?)
제목에 질문을 설정하려면 :
그것은 꽤 조잡한 도구이지만 (QQ 플롯을 보았던 이유) 박스 플롯에는 왜도 표시가 여러 개 있습니다. 최소한 점이 이상치로 표시되면 잠재적으로 (적어도) 3 가지가 있습니다.
이 샘플 (n = 100)에서 바깥 쪽 점 (녹색)은 극단을 표시하고 중앙값으로 왼쪽 비대칭을 제안합니다. 그런 다음 울타리 (파란색)는 (중간 값과 결합 할 때) 오른쪽으로 기울임을 나타냅니다. 그런 다음 경첩 (사 분위수, 갈색)은 중앙값과 결합 할 때 왼쪽 왜도를 나타냅니다.
우리가 보는 바와 같이, 그것들은 일관 될 필요가 없습니다. 중점을 두는 것은 현재 상황 (및 선호도)에 따라 다릅니다.
그러나 박스 플롯이 얼마나 조잡한 지에 대한 경고 . 데이터를 생성하는 방법에 대한 설명을 포함하여 여기 끝까지의 예제 는 동일한 상자 그림으로 4 가지 다른 분포를 제공합니다.
보시다시피 위에서 언급 한 모든 왜곡 표시기가 완벽한 대칭을 나타내는 상당히 치우친 분포가 있습니다.
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"이것이 박스 플롯이라는 점을 감안할 때 교사가 어떤 대답을 기대 했습니까? 한 점을 특이점으로 표시합니까?"
우리는 먼저 "그 점을 제외한 왜도를 평가하거나 샘플에서 비대칭 성을 평가할 것으로 기대합니까?"라는 대답을 남겼습니다. jsk가 다른 답변에서했던 것처럼 일부는 그것을 제외하고 남은 것에서 왜도를 평가합니다. 그 접근법의 측면에 대해 논란이 있었지만 상황에 따라 잘못되었다고 말할 수는 없습니다. 일부는 그것을 포함 할 것입니다 (최소한 정규성에서 나온 규칙으로 인해 샘플의 12.5 %를 제외하는 것이 큰 단계 인 것 같습니다).
* 맨 오른쪽 꼬리를 제외하고 대칭 인 모집단 분포를 상상해보십시오 (정상이지만 오른쪽 오른쪽 꼬리는 파레토이지만 대답하지 않았습니다). 크기가 8 인 표본을 추출하면 관측치 중 7 개가 보통 부분에서 나오고 하나는 위쪽 꼬리에서 나옵니다. 이 경우 boxplot-outliers로 표시된 점을 제외하면 실제로 기울어 졌다는 점을 제외합니다! 우리가 그렇게 할 때, 그 상황에 남아있는 잘린 분포는 왼쪽으로 치우 치며, 우리의 결론은 올바른 것과 반대입니다.
아니요, 당신은 아무것도 놓치지 않았습니다. 실제로 제시된 단순한 요약을 넘어 실제로보고 있습니다. 이러한 데이터는 양의 차이와 음의 차이를 띤다 ( 데이터 분포에서 어떤 형태의 비대칭 성 을 암시하는 "왜곡"의 의미 에서).
존 터키 (John Tukey)는 그의 "N- 숫자 요약 (N-number summary)"을 통해 데이터의 비대칭을 탐색하는 체계적인 방법을 설명했다. 상자 그림은 5 개의 숫자 요약으로 구성된 그래픽이므로이 분석을 수행 할 수 있습니다.
이 아이디어를 상자 그림에 적용하려면 각 해당 부분 쌍의 중간 점 (중간 값 (이미 존재 함), 경첩의 중간 점 (상자의 끝, 파란색으로 표시됨) 및 극단의 중간 점을 그리면됩니다. (빨간색으로 표시).
이 예에서 중앙값에 비해 중간 힌지 의 낮은 값은 배치의 중간이 약간 부정적으로 왜곡 되었음을 나타냅니다 (따라서 질문에 인용 된 평가를 확인하는 동시에 배치 의 중간 으로 범위를 제한 함) ) 중 극단의 (많은) 높은 값은 배치의 꼬리 (또는 적어도 극단)가 긍정적으로 치우친 것을 나타냅니다 (그러나 면밀한 검사에서는 단일 특이 치 때문입니다). 이것은 거의 사소한 예이지만, 단일 "왜곡"통계량과 비교할 때이 해석의 상대적인 풍부함은 이미이 접근법의 기술적 인 힘을 보여줍니다.
약간의 연습만으로도 이러한 중간 통계를 그릴 필요가 없습니다. 그들이 어디에 있는지 상상하고 결과 왜곡 정보를 모든 상자 그림에서 직접 읽을 수 있습니다.
. 다음 그림의 왼쪽 그림은이 쌍으로 된 통계의 중간 점에 대한 진단 그림입니다. 가속 슬로프에서 데이터가 꼬리에 도달함에 따라 데이터가 점점 더 긍정적으로 왜곡되고 있음이 분명합니다.
중간 및 오른쪽 그림 은 중간 수 통계 의 데이터가 아닌 데이터 의 제곱근 과 (기본 10) 로그에 대해 동일한 것을 표시합니다 . 뿌리 값의 상대적인 안정성 (상대적으로 작은 수직 범위와 중간에서 기울어 진 레벨에 주목)은 219 개의 값의이 배치가 중간 부분과 꼬리의 모든 부분에서 거의 대칭이됨을 나타냅니다. 높이가 제곱근으로 다시 표현 될 때 의 극단 . 이 결과는 제곱근의 관점에서 이러한 높이에 대한 추가 분석을 계속할 수있는 강력한 기반이됩니다.
무엇보다도,이 그림은 데이터의 비대칭성에 대해 정량적 인 것을 보여줍니다. 원래 규모에서, 데이터의 다양한 왜도를 즉시 보여줍니다 (왜곡 성을 특징 짓기 위해 단일 통계를 사용하는 유틸리티에 대한 상당한 의문을 제기 함). 제곱근 척도에서 데이터는 중간에 대해 대칭에 가깝기 때문에 간결하게 5 자리 요약으로 요약하거나 상자 그림으로 요약 할 수 있습니다. 왜도는 로그 스케일에 따라 크게 달라 지므로 로그가 이러한 데이터를 다시 표현하기에는 너무 "강하다"는 것을 나타냅니다.
상자 그림을 7, 9 및 더 많은 수의 요약으로 일반화하는 것은 간단합니다. Tukey는이를 "도식도"라고 부릅니다. 오늘날 많은 도표는 QQ 도표와 같은 대기 및 "콩 도표"및 "바이올린 도표"와 같은 상대적인 참 신성을 포함하여 유사한 목적을 제공합니다. (낮은 히스토그램도이 목적을 위해 사용 가능합니다.) 이러한 플롯의 점을 사용하여 세부적인 방식으로 비대칭 성을 평가하고 데이터를 다시 표현하는 방법에 대한 유사한 평가를 수행 할 수 있습니다.
중간 값보다 작거나 큰 평균은 특이 치가없는 한 기울기 방향을 결정하는 데 종종 사용되는 지름길입니다. 이 경우 분포가 부정적으로 치우 치지 만 평균값이 이상 값으로 인해 중앙값보다 큽니다.