극값의 분포

항목이 정규 분포를 따르는 경우 평균도 정규 분포를 따릅니다. 최소 및 최대는 어떻습니까?

주문 통계를 살펴 봐야 합니다 . 다음은 매우 간단한 개요입니다.

을 분포 함수 및 확률 밀도 함수 를 가진 모집단에서 추출한 크기 의 iid 샘플 이라고합시다 . 정의 , 는 샘플 의 차 통계량 , 즉 번째로 작은 값을 나타냅니다.$X_{1}, \ldots X_{n}$$n$$F$$f$$Y_{1}=X_{(1)}, \ldots, Y_{r} = X_{(r)}, \ldots, Y_{n}=X_{(n)}$$X_{(r)}$$r$$X_{1}, \ldots X_{n}$$r$

의 결합 확률 밀도 함수 는 다음과 같습니다.$Y_{1}, \ldots, Y_{n}$

$f_{X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}}(y_{1}, \ldots, y_{n}) = n! \prod_{i=1}^{n} f(y_{i})$ 경우 및 그렇지.$y_{1} < y_{2} < \ldots < y_{n}$$0$

앞의 방정식을 통합하여

$f_{X_{(r)}}(x) = \frac{n!}{(r - 1)! (n - r)!} f(x) (F(x))^{r-1} (1 - F(x))^{n - r}$

특히 최소값과 최대 값은 각각

$f_{X_{(1)}}(x) = n f(x) (1 - F(x))^{n-1}$

$f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) (F(x))^{n - 1}$

일반화 된 극단 값 (GEV) 분포 를 읽을 수도 있습니다 . 그것은 밝혀과 의 GEV 분포의 세 가지 특별한 경우 중 하나에 샘플 수렴의 최대 값의 (이동 및 축소) 유통.$n\rightarrow\infty$

가우시안의 합은 가우시안입니다. 이것이 평균이 정상인 이유입니다. 가우스의 비선형 함수 분포는 가우시안 일 필요는 없으며 일반적으로 그렇지 않습니다. 최대 기능의 경우입니다. 다변량 가우스 최대 값을 근사하기 위해 Hothorn 을 시작하는 것이 좋습니다.