“.632 규칙”에서 확률이 같지 않으면 어떻게됩니까?

이 질문은 ".632 규칙" 에 관한 질문에서 비롯된 것 입니다. 문제를 단순화하는 범위에서 user603의 답변 / 표기법을 특별히 언급하고 있습니다.

이 답변은 크기가 표본으로 시작하고, 수집 된 별개의 항목 에서 을 교체합니다 (콜). 샘플 가 N 의 특정 요소 과 다를 은 $n,$ $n$ $i^{th}$ $s_i$ $m$ $(1 - 1/n).$

이 답변에서 N의 모든 요소는 무작위로 그려 질 확률이 동일합니다.

내 질문은 이것입니다 : 대신 위의 질문에서 그릴 항목이 정상적으로 분포되어 있다고 가정하십시오. 즉, 표준 법선 곡선을 에서 로 (100) 동일한 길이의 하위 간격으로 세분화합니다 . N의 100 개 항목 각각은 각각의 간격에서 곡선이 차지하는 면적과 동일한 드로우 가능성이 있습니다. $Z = -4$ $Z = 4$

내 생각은 다음과 같습니다.

추론은 내가 생각하는 링크 된 답변과 유사합니다. 이 N 인 원소를 갖는 $s_i \ne m$ 일 확률 은 이며, 여기서 는 를 그릴 확률이다 $m$ $P(s_i \neq m) = (1 - F_i)$ $F_i$ $s_i.$

특정 요소 m이 크기 n의 표본 S에있을 확률은 다음과 같습니다.

P (m \in S) = 1 - P (m \notin S) = 1 - \prod_{1}^{n} P (s_{i} \neq m)

$P(m \in S) = 1 - P(m \notin S) = 1 - \prod_1^n P(s_i \neq m)$

= 1 - \prod_{1}^{n} (1 - F_{i}) .

$= 1 - \prod_1^n(1 - F_i).$

계산은 그 서브 구간의 길이는 첫 번째 경우와 동일한 번호에 응답 수렴 작은수록 (표시 확률 보인다 $s_i$ 모두 같음)를.

이 구성은 드물지만 N의 요소를 던지는 것처럼 보이기 때문에 반 직관적입니다.

또한 이것이 정확하다면, 우리는

lim_{n \to \infty} \prod_{1}^{n} (1 - F_{i}) = lim (1 - 1 / n)^{n} = 1 / e,

$\lim_{n \to \infty} \prod_1^n(1 - F_i) =\lim (1- 1/n)^n = 1/e,$

나는 아직 진실인지 거짓인지 모른다.

편집 : 그것이 사실이라면 아마 일부를 일반화 할 것입니다.

통찰력을 가져 주셔서 감사합니다.

probability sampling

— 다니엘
소스

방금 수학 일반화에 관한 마지막 방정식 (질문 791114)에 대해 물었습니다. 왜냐하면 그것이 어떻게 일반화되는지에 관심이 있기 때문입니다.

— 다니엘

... 짧은 대답은 마지막 평등이 올바르게 작동하는 PDF에 대해 정확하다는 것입니다. 따라서 질문에 대한 답은 .632 규칙이 다양한 기본 분포에 적용된다는 것입니다.

— 다니엘

다른 사이트에서 다른 사람의 답변을 들어 여기에 게시 할 수 있습니까? 그래서 내가 간단한 의견을 게시했습니다. 어쩌면 내가 할 수있는 경우이 방법을 받아 들일 수 있습니다.

— 다니엘

물론 당신은 어느 시점에서 소스를 언급 할 수 있습니다 :)

— Firebug

@Firebug : 이것이 수행되는 인스턴스를 가리켜 서 무슨 의미인지 알 수 있습니까? 감사.

— 다니엘

질문은 제한 행동에 대해 묻습니다.

\begin{matrix} (1) & = 1 - \prod_{i = 1}^{n} (1 - F_{i}) \end{matrix}

$= 1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\tag{1}$

같이 증가하고 균일 (a) 모두가 화합 합이 음수 및 (b)임을 이러한 방식으로 수축. (이것은 의 구성 과 확률의 공리 에서 따릅니다 .) $n$ $F_i$ $F_i$

정의상 이 제품은 로그의 지수입니다.

\prod_{i = 1}^{n} (1 - F_{i}) = \exp (\sum_{i = 1}^{n} \log (1 - F_{i})) .

$\prod_{i=1}^n(1 - F_i) = \exp\left(\sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right)\right).$

적용된 Taylor 's Theorem (나머지의 Lagrange 형식)은 다음과 같이 설정합니다. $\log$

\log (1 - F_{i}) = - F_{i} - \frac{1}{2} ϕ_{i}^{2} \geq - F_{i} - \frac{1}{2} F_{i}^{2}

$\log\left(1-F_i\right) = -F_i - \frac{1}{2}\phi_i^2 \ge -F_i - \frac{1}{2}F_i^2$

간격의 일부 에 대해 . 즉, 이러한 대수는 동일 몇 가지 용어까지 최대 배 . 그러나 경우에 하는 모든 것을 보장하기 위해 충분히 큰 것이다 보다 작은 어떤 주어진 (의 균일 한 수축을 보장하는 조건 ) 다음 (b)는 암시 따라서 $\phi_i$ $[0, F_i]$ $-F_i$ $1/2$ $F_i^2$ $n$ $F_i$ $\epsilon\gt 0$ $F_i$ $n\epsilon \gt \sum F_i = 1$

\sum_{i = 1}^{n} F_{i}^{2} \leq \sum_{i = 1}^{n} ϵ^{2} < \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{1}{n})}^{2} = \frac{1}{n} .

$\sum_{i=1}^n F_i^2 \le \sum_{i=1}^n \epsilon^2 \lt \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{n}\right)^2 =\frac{1}{n}.$

따라서

- 1 = - \sum_{i = 1}^{n} F_{i} \geq \sum_{i = 1}^{n} \log (1 - F_{i}) \geq - \sum_{i = 1}^{n} F_{i} - \frac{1}{2} \frac{1}{n} = - 1 - \frac{1}{2 n}

$-1 = -\sum_{i=1}^n F_i \ge \sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right) \ge -\sum_{i=1}^n F_i - \frac{1}{2}\frac{1}{n} = -1 - \frac{1}{2n}$

수렴하는 두 시퀀스 사이의 로그를 압축합니다 . 는 연속적 이기 때문에 이 한계의 지수로 수렴됩니다 . 따라서 $-1$ $\exp$ $\prod_{i=1}^n(1 - F_i)$ $\exp(-1)$

\underset{엔 \to \infty}{임} (1 - \prod_{나는 = 1}^{엔} (1 - {에프}_{나는})) = 1 - 특급 (- 1) \approx 0.632,

$\lim_{n\to\infty} \left(1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\right) = 1 - \exp(-1) \approx 0.632,$

QED .

이 분석을 자세히 살펴보면이 근사값의 오차 (항상 하한값 임)가 예를 들어, 표준 정규 분포를 와 사이의 슬라이스로 모드 근처에서 최대 생성되며 , 여기서 사각형의 면적과 거의 같습니다. . 전술 한 경계는 화학식 의 값 이 그의 제한 값의 내에있을 것이라는 것을 확립한다 . 실제 오차는 10 배 정도 작습니다.

(특급 ((엔 / 2) 최대 ({에프}_{나는}^{2})) - 1) 특급 (- 1) .

$\left(\exp\left((n/2)\max(F_i^2)\right) - 1\right)\exp(-1).$

n = 400

$n=400$

- 4

$-4$

4

$4$

F_{i}

$F_i$

0

$0$

\exp (- 1 / 2) / 50 \approx 0.012

$\exp(-1/2)/50 \approx 0.012$

(1)

$(1)$

0.011

$0.011$

0.001041

$0.001041$ . 계산은 다음과 같습니다 R( 중 어느 것도 비해 작기 때문에 신뢰할 수 있습니다 ).

f_{i}

$f_i$

1

$1$

f <- diff(pnorm(seq(-4, 4, length.out=401))) # The normal "slices".
f <- f / sum(f)                              # Make them sum to unity.
exp(-1) - prod(1 - f)                        # Compute the error.

사실 1 - prod(1-f)이다 반면 이다 . $0.6331615\ldots$ $1-\exp(-1)$ $0.6321206\ldots$

— 우버
소스

오류 분석은이 답변에서 매우 유용한 측면입니다.

— 다니엘