랜덤 변수 함수의 확률 분포?

나는 의문의 여지가 있습니다 : 실제 값을 갖는 임의의 변수를 고려하십시오 $X$ 과 $Z$ 둘 다 확률 공간에 정의 $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$ .

허락하다 $Y:= g(X,Z)$ , 어디 $g(\cdot)$ 실제 가치 함수입니다. 이후 $Y$ 임의 변수의 함수이며 임의 변수입니다.

허락하다 $x:=X(\omega)$ 즉, 실현 $X$ .

입니다 $\mathbb{P}(Y|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)|X=x)$ 동일 $\mathbb{P}(g(x,Z))$ ?

probability random-variable

— 사용자
소스

표기법이 다소 축약되어 있기 때문에 암시 적으로 일부 Borel 세트를 나타냅니다.

A

$A$ , 보편적 인 정량 자에 따라, 따라서 귀하의 질문에 대한 더 완전한 표현은

\forall_{A} P (Y \in A | X = x) = P (g (X, Z) \in A | X = x) = P (g (x, Z) \in A) .

$\forall_A\ \mathbb{P}(Y\in A|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)\in A|X=x)=\mathbb{P}(g(x,Z)\in A).$

— whuber

@ whuber : 마지막 평등은 다음과 같은 경우에만 유효합니다

X

$X$ 과

Z

$Z$ 독립적입니다.

— Zen

좋아, 당신은 단지 "그 경우인지"를 고려하고 있습니다.

— Zen

만약 $g$ 측정 가능하다

P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) = P (g (x, Z) \in A ∣ X = x), A \in B (R)

$P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\in A\mid X=x),\quad A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ 보유

P_{X}

$P_X$ -aa

x

$x$ . 특히

Z

$Z$ ~의 독립

X

$X$ 그런 다음

P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) = P (g (x, Z) \in A), A \in B (R)

$P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\in A),\quad A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ 보유

P_{X}

$P_X$ -aa

x

$x$ .

이것은 다음과 같은 일반적인 결과에 의존합니다.

만약 $U,T$ 과 $S$ 임의의 변수이며 $P_S(\cdot \mid T=t)$ 정규 조건부 확률을 나타냅니다 $S$ 주어진 $T=t$ 즉 $P_S(A \mid T=t)=P(S\in A\mid T=t)$ 그런 다음
$\begin{matrix} (*) & E [U ∣ T = t] = \int_{R} E [U ∣ T = t, S = s] P_{S} (d s ∣ T = t) . \end{matrix}$ ${\rm E}[U\mid T=t]=\int_\mathbb{R} {\rm E}[U\mid T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t).\tag{*}$

증명 : 규칙적인 조건부 확률의 정의는

E [ψ (S, T)] = \int_{R} \int_{R} ψ (s, t) P_{S} (d s ∣ T = t) P_{T} (d t)

${\rm E}[\psi(S,T)]=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R} \psi(s,t)\,P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt)$ 측정 가능하고 통합 가능한

ψ

$\psi$ . 이제하자

ψ (s, t) = 1_{B} (t) E [U ∣ S = s, T = t]

$\psi(s,t)=\mathbf{1}_B(t){\rm E}[U\mid S=s,T=t]$ 일부 세트 Borel 세트

B

$B$ . 그때

\begin{aligned} \int_{T^{- 1} (B)} U d P & = E [1_{B} (T) U] = E [1_{B} (T) E [U ∣ S, T]] = E [ψ (S, T)] \\ = \int_{R} \int_{R} ψ (s, t) P_{S} (d s ∣ T = t) P_{T} (d t) \\ = \int_{B} φ (t) P_{T} (d t) \end{aligned}

$\begin{align} \int_{T^{-1}(B)} U\,\mathrm dP&={\rm E}[\mathbf{1}_B(T)U]={\rm E}[\mathbf{1}_B(T){\rm E}[U\mid S,T]]={\rm E}[\psi(S,T)]\\ &=\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}\psi(s,t)\, P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt)\\ &=\int_B\varphi(t)P_T(\mathrm dt) \end{align}$ 와

φ (t) = \int_{R} E [U ∣ T = t, S = s] P_{S} (d s ∣ T = t) .

$\varphi(t)=\int_\mathbb{R}{\rm E}[U\mid T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t).$ 이후

B

$B$ 자의적이었다

φ (t) = E [U ∣ T = t]

$\varphi(t)={\rm E}[U\mid T=t]$ .

자 이제 $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ 사용 $(*)$ 와 $U=\psi(X,Z)$ , 어디 $\psi(x,z)=\mathbf{1}_{g^{-1}(A)}(x,z)$ 과 $S=Z$ , $T=X$ . 그런 다음에

E [U ∣ X = x, Z = z] = E [ψ (X, Y) ∣ X = x, Z = z] = ψ (x, z)

${\rm E}[U\mid X=x,Z=z]={\rm E}[\psi(X,Y)\mid X=x,Z=z]=\psi(x,z)$ 조건부 기대의 정의에 의해

(*)

$(*)$ 우리는

\begin{aligned} P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) & = E [U ∣ X = x] = \int_{R} ψ (x, z) P_{Z} (d z ∣ X = x) \\ = P (g (x, Z) \in A ∣ X = x) . \end{aligned}

$\begin{align} P(g(X,Z)\in A\mid X=x)&={\rm E}[U\mid X=x]=\int_\mathbb{R} \psi(x,z)\,P_Z(\mathrm dz\mid X=x)\\ &=P(g(x,Z)\in A\mid X=x). \end{align}$

— 스테판 한센
소스