Gelman과 Rubin 수렴 진단, 벡터 작업을 일반화하는 방법?

Gelman 및 Rubin 진단은 병렬로 실행되는 여러 mcmc 체인의 수렴을 확인하는 데 사용됩니다. 체인 내 분산과 체인 간 분산을 비교하면 노출은 다음과 같습니다.

단계 (각 매개 변수) :

과도하게 분산 된 시작 값에서 길이 2n의 m ≥ 2 체인을 실행하십시오.
각 체인에서 첫 번째 n 추첨을 버리십시오.
체인 내 및 체인 간 분산을 계산하십시오.
체인 내 및 체인 간 분산의 가중치 합계로 매개 변수의 추정 분산을 계산합니다.
잠재적 인 스케일 감소 계수를 계산하십시오.
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이 통계를 사용하고 싶지만 함께 사용하려는 변수는 랜덤 벡터입니다.

이 경우 공분산 행렬의 평균을 취하는 것이 합리적입니까?

mcmc convergence covariance-matrix

— 팀
소스

권장 사항 : 각 스칼라 구성 요소에 대해 PSRF를 별도로 계산하기 만하면됩니다.

Gelman & Rubin [1]의 원본 기사 와 Gelman et al. 의 Bayesian Data Analysis 교과서. [2]는 관심있는 각 스칼라 매개 변수에 대해 개별적으로 잠재적 스케일 감소 계수 (PSRF)를 계산할 것을 권장합니다. 수렴을 추론하려면 모든 PSRF가 1에 가까워 야합니다. 매개 변수가 임의의 벡터로 해석되는 것은 중요하지 않으며, 해당 구성 요소는 PSRF를 계산할 수있는 스칼라입니다.

Brooks & Gelman [3]은 PSRF의 다변량 확장을 제안했으며,이 답변의 다음 섹션에서 검토하겠습니다. 그러나 Gelman & Shirley [4]를 인용하면 :

[...] 이러한 방법은 때때로 과잉을 나타낼 수 있습니다. 다변량 분포 시뮬레이션의 대략적인 수렴에 시간이 오래 걸리더라도 개별 매개 변수를 잘 추정 할 수 있습니다.

대안 : Brooks & Gelman의 다변량 확장

$W$ $B$

\hat{V} = \frac{엔 - 1}{엔} 여 + \frac{1}{엔} 비,

$\begin{equation} \hat{V} = \frac{n-1}{n}W + \frac{1}{n}B, \end{equation}$

n

$n$

\hat{V}, W

$\hat{V},W$

\hat{아르 자형} = \underset{ㅏ}{최대} \frac{ㅏ^{티} \hat{V} ㅏ}{ㅏ^{티} 여 ㅏ} = \frac{엔 - 1}{엔} + (\frac{미디엄 + 1}{미디엄}) λ_{1},

$\begin{equation} \hat{R} = \max_a \frac{a^T\hat{V}a}{a^TWa} = \frac{n-1}{n} + \left(\frac{m+1}{m}\right)\lambda_1, \end{equation}$

m

$m$

λ_{1}

$\lambda_1$

W^{- 1} \hat{V} / n

$W^{-1}\hat{V}/n$

λ_{1} \to 0

$\lambda_1\rightarrow 0$

n

$n$

\hat{R}

$\hat{R}$

참고 문헌

[1] Gelman, Andrew 및 Donald B. Rubin. "여러 시퀀스를 사용한 반복 시뮬레이션의 추론." 통계 과학 (1992) : 457-472.

Gelman, Andrew 등. 베이지안 데이터 분석. CRC 보도, 2013.

[3] Brooks, Stephen P. 및 Andrew Gelman. "반복 시뮬레이션의 수렴을 모니터링하는 일반적인 방법." 전산 및 그래픽 통계 저널 7.4 (1998) : 434-455.

[4] Gelman, Andrew 및 Kenneth Shirley. "시뮬레이션 및 모니터링 수렴으로부터의 추론". (Brooks, Steve 등의 6 장, Markov Chain Monte Carlo. CRC Press, eds. Handbook of 2011).

교과서 [2]를 제외한 모든 기사는 Andrew Gelman의 웹 사이트 Andrew Gelman의 웹 사이트에서 구할 수 있습니다 .

— 유호 코 칼라
소스