타원형 궤도에 대한 세차 운동의 영향을 어떻게 계산합니까?

케플러의 첫 번째 법칙에 따르면 행성 (및 다른 물체를 공전하는 모든 천체)은 타원형 궤도를 따라 이동하며 궤도 요소와 관련 동작을 비교적 쉽게 계산할 수있는 잘 알려진 공식이 있습니다. 그러나 지속적인 세차 운동은 궤도가 계속 변하고 있다는 것을 의미합니다. 따라서 지구는 실제로 원래 타원을 따라 이동하지 않습니다! 당신은 세차 운동과 그와 관련된 효과를 계산할 수 있지만 ( 이 질문과 답변 이 도움이됩니다), 세차 운동에 의해 타원형 궤도가 어떻게 "변형"될 수있는 방법을 계산할 수 있습니까?

좋은 출발점은 <오래 전에 일부 과학자의 이름을 삽입> 행성 운동 방정식입니다. 예를 들어, Lagrange의 행성 방정식 (Lagrange-Laplace 행성 방정식이라고도 함), Gauss의 행성 방정식, 들로네의 행성 방정식, Hill의 행성 방정식 등이 있습니다. 이러한 다양한 행성 방정식들 사이의 공통된 주제는 그것들이 몇몇 일반화 된 위치에 대한 교란 력 / 교란 전위의 부분 도함수의 함수로서 다양한 궤도 요소의 시간 도함수를 산출한다는 것이다.

일반적으로이 프로세스의 결과를 처음에 설명 할 수있는 유일한 단어는 "핫 엉망"입니다. 화끈한 엉망은 그 오래된 마음을 방해하지 않았다. 다양한 단순화 가정과 장기 평균화를 통해 예를 들어,$\left \langle \frac{d\omega}{dt} \right\rangle$ (후 두근 세차 운동) $\left \langle \frac{d\Omega}{dt} \right\rangle$(평면 세차 운동). 아래의 Hill이 인용 한 1900 년 작품에서이 중 일부를 볼 수 있습니다.

이러한 기술은 오래되었지만 오늘날에도 이러한 행성 방정식이 사용됩니다. 때때로 우리는 컴퓨터를 가지고 있기 때문에 "핫 엉망"을 얻을 수 있습니다. 사람들은 기하 적분 기법과 결합 된 행성 방정식을 사용하여 빠르고 정확하며 안정적이며 오랜 기간 동안 각 운동량과 에너지를 보존하는 적분기를 산출합니다. (일반적으로, 당신은이 모든 것들을 가질 수 없습니다. 단지 두세 가지를 얻는다면 운이 좋습니다.)이 행성 방정식의 또 다른 좋은 특징은 그들이 실제로는 " 직교 운동 방정식의 핫 엉망.

날짜별로 정렬 된 선택된 참조 자료 :

Hill (1900), "행성 운동의 일반적인 문제에 대한 음력 이론에서 들로네의 방법의 확장" , 미국 수학 협회의 거래 , 1.2 : 205-242.

Vallado (1997 이상), "Astrodynamics and Applications의 기초", 다양한 출판사. 지갑에 구멍을 뚫는 것 외에는이 책을 잘못 사용할 수 없습니다.

Efroimsky (2002), "케플러 요소에 대한 방정식 : 숨겨진 대칭," Institute for Mathematics and Applications

Efroimsky and Goldreich (2003), "Hamilton–Jacobi 접근에서 N-body 문제의 게이지 대칭" 수학 물리학 저널 , 44.12 : 5958-5977.

Wyatt (2006-2009), 케임브리지 천문학 연구소, 행성 시스템에 관한 대학원 강의 과정.
라그랑주 행성 방정식의 결과는 슬라이드 6에 나와 있습니다.

케첨 (Ketchum) 등. (2013), "Exoplanet 시스템에서의 평균 모션 공명 : 끄덕임 동작에 대한 조사." 천체 물리학 저널 762.2.

진정한 공 초점 타원형 궤도는 중심 전위에서 결합 된 시험 입자의 궤도입니다. $-k/r$ 또는 동등하게, 2 개의 점형 (구면 대칭 내부 질량 분포를 갖는) 질량이 뉴턴의 중력으로 서로를 끌어 당기고 (음의 총 에너지를 가짐, 즉 서로 결합 됨).

다른 모든 것은 타원형이 아니며 (결합되지 않은 궤도는 포물선 또는 쌍곡선) 대부분의 편차는 작습니다. 신체의 질량 분포 (일부 태양), 비중력 (먼지 입자의 방사 압력 및 가스 항력), 비 뉴턴 (GR) 영향, 다른 물체 (다른 모든 행성)의 섭동. 뉴턴 자신도이 마지막 효과를 잘 알고있었습니다.

편차가 작 으면이를 추정하는 전통적인 방법은 섭동 이론 (perturbation theory) 이며, 여기서 섭 동력은 교란되지 않은 (타원형) 궤도를 따라 교란 력을 통합합니다. 예를 들어, 근막의 세차 운동을 얻기 위해 변화를 편심 벡터에 통합 할 수 있습니다. 그 벡터의 회전은 말초 세차에 해당합니다. 정확히 그 예 를 보려면 이 질문 에 대한 내 대답을 참조하십시오 .

데이비드 햄먼

사람들은 기하학적 통합 기술과 결합 된 행성 방정식을 사용하고 있습니다 ...

객체 질량, 위치, 속도 및 가속도에서 작동하기 위해 Newton의 법칙을 사용하여 간단한 유한 단계 시뮬레이션을 시도 할 수도 있습니다. 이것이 David가 "지오메트리 통합 기술"이라고 부르는 것에 해당되는지 확실하지 않습니다. 내 요점은 행성 방정식을 통합하지 않고도 할 수 있다는 것입니다. 단점 = 시뮬레이터는 근사값을 사용하여 "모퉁이를 자릅니다". 이는 모형에서 인공물 인 동작을 유발합니다. 이러한 단점은 다른 기술을 사용하여 극복 할 수 있습니다. 장점 = 코드 디자인이 더 쉬워지고, 행성 방정식 (및 그들의 가정)이 쇼를 주도하고 있다는 의혹을 피합니다.

간단한 Leapfrog 통합 기술 ( Feynman Lectures vol I 에 자세히 설명되어 있음 )을 사용하여 최대 몇 세기 동안 태양계 궤도에서 뉴턴 식 세차 운동 (Newtonian Precession)을 모델링 하기 위해 수치 법 전문가가 될 필요는 없습니다 . 다양한 시간 단계에서 시뮬레이션을 실행함으로써 (예 :$dt=1200s, 600s, 300s, 100s$) Excel에서 결과를 플로팅하고 곡선을 맞추고 외삽 $dt=0$허용 된 수치의 1 % 이내 인 장기 평균 뉴턴 식 세차에 대한 결과를 얻을 수 있습니다. 장기 평균 결과를 생성하는 분석 방법에 대한 또 다른 이점은 짧은 시간 단위로 동작을 검사 할 수 있다는 것입니다. 예를 들어 특정 행성 (예 : 수은)에 대한 perihelion 방향 대 시간을 그래프로 표시하면$\approx 11.9$태양 주위의 목성 운동으로 인한 세차 속도의 연간주기 변동. "만약 만약에?"를하는 것은 많은 재미 (그리고 기본 코드를 작성하고 나면 매우 쉽다)입니다. 시스템에서 몸체의 수와 속성을 변경하고 심지어 비 뉴턴 힘을 추가하여 시뮬레이션.

Feymnan을 인용하려면 :-

한 번의 계산주기에서 문제에 따라 30 곱하기 또는 이와 유사한 것이있을 수 있으므로 한 번의주기는 300 마이크로 초가 걸립니다. 이는 초당 3000 사이클의 계산을 수행 할 수 있음을 의미합니다. 예를 들어 10 억분의 1의 정확도를 얻으려면 태양 주위 행성의 1 회전에 해당하는 4 × 10 ^ 5주기가 필요합니다. 이는 130 초 또는 약 2 분의 계산 시간에 해당합니다. 따라서 태양 주위의 목성을 따라 가는데 2 분 밖에 걸리지 않습니다.이 방법으로 모든 행성의 모든 섭동이 10 억분의 1 정도로 정확합니다!

그러나 시뮬레이션에서 확실하게 추론 할 수있는 것에 대해 신중하게 생각해야합니다. 예를 들어 시간 단계가 수백 초보다 긴 경우 시뮬레이션은 실제로 발생하는 것과 반대 방향으로 세차 운동을 나타냅니다 (예 : 역행 할 때 역행) 이어야합니다).