소개

오늘 우리는 1 학년 선형 대수학 학생들의 골칫거리를 다룰 것입니다 : 행렬의 명확성! 분명히 이것은 아직 도전이 없으므로 여기에갑니다.

입력

• 대칭 행렬 편리한 형식 (당신은 또한 물론에만 상단 또는 행렬의 하부 걸릴 수 있음)$n\times n$ A$A$
• 선택적으로 : 행렬의 크기$n$

무엇을해야합니까?

문제는 간단합니다. 실수 형 행렬이 주어진 경우 행렬은 참 값을 출력하고 그렇지 않으면 거짓 값을 출력하여 양의 정한지를 결정합니다.$n\times n$

기본 제공 기능이 실제로 정확하게 작동한다고 가정 할 수 있으므로 전략 / 코드가 "아마도"올바른 결과를 제공 할 경우 잘못된 동작으로 이어질 수있는 숫자 문제를 고려하지 않아도됩니다.

누가 이겼어?

이것은 code-golf 이므로 바이트 단위 (언어 당) 가장 짧은 코드가 승리합니다!

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어쨌든 양의 명확한 매트릭스는 무엇입니까?

대칭 매트릭스가 양의 한정 인 경우의 6 개의 등가의 공식이 존재한다. 더 쉬운 세 가지를 재현 하고 더 복잡한 것을 Wikipedia 로 안내합니다.

• 만약 후 포지티브 한정된다. 이것은 0이 아닌 모든 벡터 대해 와 의 (표준) 내적 이 양수인 경우 는 양의 한정입니다.$\forall v\in\mathbb R^n\setminus \{0\}: v^T Av>0$$A$
  
  $v$$v$$Av$$A$
• 하자 될 고유 의 지금 경우 (즉, 모든 인 고유 값은 양수 임) 는 양수입니다. 고유 값이 무엇인지 모르는 경우 설명 (및 필요한 계산 전략)이이 게시물에 포함하기에 너무 길기 때문에 즐겨 찾는 검색 엔진을 사용하여 알아내는 것이 좋습니다.$\lambda_i\quad i\in\{1,\ldots,n\}$A ∀ i ∈ { 1 , … , n } : λ i > 0 A$A$$\forall i\in\{1,\ldots,n\}:\lambda_i>0$$A$
  
• 경우] 촐레 - 분해 의 존재하며, 즉 더 낮은 삼각 행렬이 존재 되도록 다음 포지티브 확정적이다. 이는 부정적 인수로 인해 알고리즘 중 루트 계산이 실패하는 경우 조기 리턴 "false"와 같습니다.$A$$L$$LL^T=A$$A$

예

진실한 결과물

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&1&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&-2&2\\-2&5&0\\2&0&30\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45\\2.45&9.37\end{pmatrix}$$

잘못된 출력

(적어도 하나의 고유 값은 0 / 양의 반 )

$$\begin{pmatrix}3&-2&2\\-2&4&0\\2&0&2\end{pmatrix}$$

(고유 값은 서로 다른 부호 / 무한정)

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

(0보다 작은 모든 고유 값 / 음수 한정)

$$\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

(0보다 작은 모든 고유 값 / 음수 한정)

$$\begin{pmatrix}-2&3&0\\3&-5&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

(0보다 작은 모든 고유 값 / 음수 한정)

$$\begin{pmatrix}-7.15&-2.45\\-2.45&-9.37\end{pmatrix}$$

(3 개의 양수, 1 개의 음수 고유 값 / 무한)

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45&1.23&3.5\\2.45&9.37&2.71&3.14\\1.23&2.71&0&6.2\\3.5&3.14&6.2&0.56\end{pmatrix}$$

C, 108 바이트

Logern 덕분에 -1 바이트, ceilingcat 덕분에
-3 바이트

f(M,n,i)double**M;{for(i=n*n;i--;)M[i/n][i%n]-=M[n][i%n]*M[i/n][n]/M[n][n];return M[n][n]>0&(!n||f(M,n-1));}

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가우시안 제거를 수행하고 모든 대각선 요소가 양수인지 확인합니다 (실베스터의 기준). 인수 n는 행렬의 크기에서 1을 뺀 크기입니다.

MATLAB / 옥타브 , 19 17 12 바이트

@(A)eig(A)>0

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eig 함수는 고유 값을 오름차순으로 제공하므로 첫 번째 고유 값이 0보다 크면 다른 고유 값도 있습니다.

젤리 , 11 10 바이트

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0

실베스터의 기준을 사용합니다 .

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작동 원리

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0  Main link. Argument: M (matrix)

   $Ƭ       Do the following until a fixed point is encountered.
Ṗ             Pop; remove the last row of the matrix.
 Ṗ€           Pop each; remove the last entry of each row.
     ÆḊ     Take the determinants of the resulting minors.
       Ṃ    Take the minimum.
        >0  Test if the least determinant is positive, i.e., if all determinants are.

R , 29 바이트

function(m)all(eigen(m)$va>0)

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cholesky를 사용하는 대안 :

R , 34 33 바이트

function(m)is.array(try(chol(m)))

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@Giuseppe 덕분에 -1 바이트

하스켈 , 56 바이트

f((x:y):z)=x>0&&f[zipWith(-)v$map(u/x*)y|u:v<-z]
f[]=1>0

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기본적으로 nwellnhof의 답변 포트입니다 . 가우스 제거를 수행하고 주 대각선의 요소가 양수인지 확인합니다.

반올림 오류로 인해 첫 번째 잘못된 출력이 실패하지만 이론적으로는 무한 정밀도로 작동합니다. Curtis Bechtel의 제안 덕분에 이제 출력이 모두 정확합니다.

Wolfram Language (Mathematica) , 20 바이트

0<Min@Eigenvalues@#&

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MATL , 4 바이트

Yv0>

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[3 -2 2; -2 4 0; 2 0 2]0$10^{-18}$

Mathematica, 29 28 바이트

AllTrue[Eigenvalues@#,#>0&]&

정의 2.

줄리아 1.0 , 28 바이트

using LinearAlgebra
isposdef

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줄리아 0.6 , 8 바이트

isposdef

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MATL , 6 바이트

더 적은 바이트 인 @Mr을 사용하여 수행 할 수 있습니다. Xcoder는 5 바이트 MATL 답변 을 찾았습니다 !

YvX<0>

설명

Yv     compute eigenvalues
  X<   take the minimum
    0> check whether it is greather than zero

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메이플 , 33 바이트

(즉, 내 2 센트)

with(LinearAlgebra):
IsDefinite(A)

자바 스크립트 (ES6),  99 95  88 바이트

$0$$1$

f=(m,n=0,R=m[n])=>R?f(m,n+1)&R[m.map((r,y)=>y<n&&R.map((v,x)=>r[x]-=v*r[n]/R[n])),n]>0:1

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