정사각형이 아닌 양의 정수 $n$ 이 주어지면 관련된 Pell 방정식 의 기본 해 $(x,y)$ 를 찾으십시오.

세부

• 기본적인 $(x,y)$ 정수 쌍 $x,y$ 의 식을 만족 $x$ 최소한, 긍정적이다. ( 카운트되지 않은 사소한 해 $(x,y)=(1,0)$ 는 항상 있습니다 .)
• $n$ 이 사각형이 아니라고 가정 할 수 있습니다 .

예

 n           x    y
 1           -    -
 2           3    2
 3           2    1
 4           -    -
 5           9    4
 6           5    2
 7           8    3
 8           3    1
 9           -    -
10          19    6
11          10    3
12           7    2
13         649    180
14          15    4
15           4    1
16           -    -
17          33    8
18          17    4
19         170    39
20           9    2
21          55    12
22         197    42
23          24    5
24           5    1
25           -    -
26          51    10
27          26    5
28         127    24
29        9801    1820
30          11    2
31        1520    273
32          17    3
33          23    4
34          35    6
35           6    1
36           -    -
37          73    12
38          37    6
39          25    4
40          19    3
41        2049    320
42          13    2
43        3482    531
44         199    30
45         161    24
46       24335    3588
47          48    7
48           7    1
49           -    -
50          99    14
51          50    7
52         649    90
53       66249    9100
54         485    66
55          89    12
56          15    2
57         151    20
58       19603    2574
59         530    69
60          31    4
61  1766319049    226153980
62          63    8
63           8    1
64           -    -
65         129    16
66          65    8
67       48842    5967
68          33    4
69        7775    936
70         251    30
71        3480    413
72          17    2
73     2281249    267000
74        3699    430
75          26    3
76       57799    6630
77         351    40
78          53    6
79          80    9
80           9    1
81           -    -
82         163    18
83          82    9
84          55    6
85      285769    30996
86       10405    1122
87          28    3
88         197    21
89      500001    53000
90          19    2
91        1574    165
92        1151    120
93       12151    1260
94     2143295    221064
95          39    4
96          49    5
97    62809633    6377352
98          99    10
99          10    1

관련 OEIS 시퀀스 : A002350 A002349 A033313 A033317

Piet , 612 코덱

취하고 N 표준 입력. 공백으로 구분하여 y 를 출력 한 다음 x를 출력 합니다.

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설명

입력 값 99에 대한 솔루션을 계산하는 프로그램을 보여주는 이 NPiet 추적을 확인하십시오 .

이 도전 이전에 Pell의 방정식에 대해 들어 본 적이 있는지 확실하지 않으므로 Wikipedia에서 다음을 모두 얻었습니다. 구체적으로, 세 가지 기사의이 섹션은 다음과 같습니다.

• Pell의 방정식 § 연속 분수를 통한 기본 솔루션
• 제곱근 계산 방법 § 계속 분수 확장
• 연속 분수 § 무한 연속 분수와 수렴

기본적으로 우리가하는 일은 다음과 같습니다.

1. N 받기$n$표준 입력에서 을 .
2. ⌊ √ 찾기$\lfloor\sqrt n\rfloor$그 사각형을 초과 할 때까지 카운터를 증가시켜$n$, 다음 번을 감소. (이것은 왼쪽 상단의 트레이스에서 볼 수있는 첫 번째 루프입니다.)
3. √ 의 연속 분수에서 $x$ 와 $y$ 를 계산하기위한 변수를 설정하십시오.$\sqrt n$ .
4. $x$ 와 $y$ 가 Pell의 방정식에 아직 맞는지 확인하십시오 . 만약 그렇다면, 값을 출력하고 (이것은 가로 방향으로 2/3 정도 아래쪽으로 분기) 종료 한 다음 (맨 왼쪽의 빨간색 블록으로 이동) 종료합니다.
5. 그렇지 않은 경우 반복적으로 변수를 업데이트하고 4 단계로 돌아갑니다 (이것은 오른쪽으로 넓게 펼쳐지고 맨 아래로 다시 돌아가고 반쯤 걸리지 않습니다).

나는 무차별 대입 방식이 더 짧은 지 솔직히 알지 못하며 시도하지 않을 것입니다! 좋아, 그래서 나는 그것을 시도했다.

피에트 , 184 코덱

이것은 내가 쓰고 싶지 않은 다른 대안으로 내가 말한 무차별 대안 입니다. n = 13에 대한 솔루션을 계산하는 데 2 ​​분이 걸립니다. 실제로 n = 29 에서 시도하고 싶지는 않지만 모든 항목을 체크 아웃합니다. n 최대 20 하므로 올바른지 확신합니다.

다른 답변과 마찬가지로 표준 입력에서 n 을 가져 와서 y 를 출력 한 다음 x 을 공백으로 구분합니다.

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설명

NPiet 추적 은 다음과 같습니다 은 입력 값 5에 대한 입니다.

이것은 $x$ 와 $y$ 반복하여 가장 잔인한 힘 입니다. 다른 솔루션은 $x$ 반복하고 y = √ 를 계산할 수 있습니다.$y=\sqrt{\frac{x^2-1}{n}}$ ,하지만 그들은겁쟁이야 입니다.

시작에서 $x=2$ 및 $y=1$ 이 확인 여부 $x$ 및 $y$ 아직 방정식을 해결했다. 이 값이 있으면 (오른쪽 하단의 포크) 값을 출력하고 종료합니다.

그렇지 않은 경우 왼쪽으로 계속 진행되며, 여기서 $y$ 는 $x$ 증가 합니다. (그러면 지그재그 길을 따라가는 방향이 약간 있습니다.)

이 마지막 비교는 경로가 왼쪽 중앙에서 분할되는 위치입니다. 같으면 $x$ 는 증가하고 $y$ 는 다시 1로 설정됩니다. 그리고 아직 해결책인지 다시 확인합니다.

여전히 사용 가능한 공백이 있으므로 프로그램을 확대하지 않고 해당 제곱근 계산을 통합 할 수 있는지 확인할 수 있습니다.

Brachylog , 16 바이트

;1↔;Ċz×ᵐ-1∧Ċ√ᵐℕᵐ

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설명

;1↔                Take the list [1, Input]
   ;Ċz             Zip it with a couple of two unknown variables: [[1,I],[Input,J]]
      ×ᵐ           Map multiply: [I, Input×J]
        -1         I - Input×J must be equal to 1
          ∧        (and)
           Ċ√ᵐ     We are looking for the square roots of these two unknown variables
              ℕᵐ   And they must be natural numbers
                   (implicit attempt to find values that match those constraints)

파리 / GP , 34 바이트

PARI / GP는이를 위해 거의 내장되어 있습니다 . 2 차 필드 Qquadunit 의 기본 단위 를 제공합니다 ( √ $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$,$D$은 IS판별필드. 즉,quadunit(4*n)Pell의 방정식$x^2 - n \cdot y^2 = \pm 1$합니다. 따라서 표준이$-1$때 사각형을 가져와야합니다.

어떤 알고리즘을 사용하는지 모르지만 $n$ 에 제곱이없는 경우에도 작동합니다 .

답 은 √ 형식 x + y*w으로 표시되며, 여기서 √w$\sqrt{n}$ .

n->(a=quadunit(4*n))*a^(norm(a)<0)

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Wolfram Language (Mathematica) , 46 바이트

FindInstance[x^2-y^2#==1&&x>1,{x,y},Integers]&

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05AB1E , 17 16 14 바이트

Kevin Cruijssen 덕분에 바이트를 절약했습니다 .
출력[y, x]

∞.Δn*>t©1%_}®‚

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설명

∞                 # from the infinite list of numbers [1 ...]
 .Δ        }      # find the first number that returns true under
   n              # square
    *             # multiply with input
     >            # increment
      t©          # sqrt (and save to register as potential x)
        1%        # modulus 1
          _       # logical negation
            ®‚    # pair result (y) with register (x)

자바 8, 74 73 72 바이트

n->{int x=1;var y=.1;for(;y%1>0;)y=Math.sqrt(-x*~++x/n);return x+" "+y;}

@Arnauld 덕분에 -1 바이트 . @ OlivierGrégoire
덕분에 -1 바이트 .

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설명:

n->{                 // Method with double parameter and string return-type
  int x=1;           //  Integer `x`, starting at 1
  var y=.1;          //  Double `y`, starting at 0.1
  for(;y%1>0;)       //  Loop as long as `y` contains decimal digits:
    y=               //   Set `y` to:
      Math.sqrt(     //    The square-root of:
        -x*          //     Negative `x`, multiplied by
           ~++x      //     `(-x-2)` (or `-(x+1)-1)` to be exact)
                     //     (because we increase `x` by 1 first with `++x`)
               /n);  //     Divided by the input
  return x+" "+y;}   //  After the loop, return `x` and `y` with space-delimiter as result

R, 66 56 54 53 52 47 45 바이트

완전한 프로그램

n=scan();while((x=(1+n*T^2)^.5)%%1)T=T+1;x;+T

@Giuseppe 덕분에 -1 -2

@Giuseppe & @Robin Ryder 덕분에 -7 -2 @JAD

젤리 , 40 바이트

½©%1İ$<®‘¤$п¹;Ḋ$LḂ$?Ḟṭ@ṫ-ṚZæ.ʋ¥ƒØ.,U¤-ị

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대체 Jelly는 x와 y가 클 때 덜 골프하지만 알고리즘 적으로 더 효율적입니다. 이것은 n의 제곱근에 가까운 정규 연속 분수의 수렴을 찾은 다음 Pell 방정식을 풀 수있는 것을 확인합니다. 이제 정규 연속 분수의 기간을 올바르게 찾습니다.

@TimPederick 덕분에 정수를 처리 해야하는 정수 기반 솔루션도 구현했습니다.

젤리 , 68 바이트

U×_ƭ/;²®_$÷2ị$}ʋ¥µ;+®Æ½W¤:/$$
¹©Æ½Ø.;ÇƬṪ€F¹;Ḋ$LḂ$?ṭ@ṫ-ṚZæ.ʋ¥ƒØ.,U¤-ị

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예를 들어, 1234567890의 해는 분자와 분모에 대해 각각 1936과 1932 자리입니다.

자바 스크립트 (ES7), 47 바이트

n=>(g=x=>(y=((x*x-1)/n)**.5)%1?g(x+1):[x,y])(2)

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$x²-1$$x$

n=>[(g=x=>(y=(x/n)**.5)%1?1+g(x+=k+=2):2)(k=3),y]

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또는 우리는 비 재귀 방식으로 50 바이트를 사용할 수 있습니다 .

n=>eval('for(x=1;(y=((++x*x-1)/n)**.5)%1;);[x,y]')

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TI-BASIC,  44  42 41 바이트

Ans→N:"√(N⁻¹(X²-1→Y₁:1→X:Repeat not(fPart(Ans:X+1→X:Y₁:End:{X,Ans

$n$
$(x,y)$

방정식 사용합니다$y=\sqrt{\frac{x^2-1}{n}}$$x\ge2$
$(x,y)$$y\bmod1=0$

예 :

6
               6
prgmCDGF12
           {5 2}
10
              10
prgmCDGF12
          {19 6}
13
              13
prgmCDGF12
       {649 180}

설명:

Ans→N:"√(N⁻¹(X²+1→Y₁:1→X:Repeat not(fPart(Ans:X+1→X:Y₁:End:{X,Ans  ;full logic

Ans→N                                                              ;store the input in "N"
      "√(N⁻¹(X²+1→Y₁                                               ;store the aforementioned
                                                                   ; equation into the first
                                                                   ; function variable
                     1→X                                           ;store 1 in "X"
                         Repeat not(fPart(Ans          End         ;loop until "Ans" is
                                                                   ; an integer
                                              X+1→X                ;increment "X" by 1
                                                    Y₁             ;evaluate the function
                                                                   ; stored in this variable
                                                                   ; at "X" and leave the
                                                                   ; result in "Ans"
                                                           {X,Ans  ;create a list whose
                                                                   ; values contain "X" and
                                                                   ; "Ans" and leave it in
                                                                   ; "Ans"
                                                                   ;implicitly print "Ans"

참고 : TI-BASIC은 토큰 화 된 언어입니다. 문자 수는 바이트 수와 같지 않습니다 .

MATL , 17 바이트

`@:Ut!G*-!1=&fts~

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설명

코드는 계속 증가 카운터 (K) 각각에 대해, ...를 = 1, 2, 3 (K) , 용액 , X , Y가 1 ≤ x ≤ k , 1 ≤ y ≤ k 인 를 검색합니다. 솔루션이 발견되면 프로세스.

이 절차는 정확히 하나의 솔루션을 찾도록 보장되는데, 이것이 바로 근본적인 솔루션입니다. 이유를 확인하려면

1. 모든 솔루션 x > 0, yn > 1에 대한 > 0은 x > y를 충족시킵니다 .
2. 경우에 X , Y는 용액이고 , X ', Y는 '다른 용액 후 필요하다 X ≠ X '는 및 Y ≠ Y '.

1과 2의 결과로

• 주어진 k 에서 프로 시저가 중지되면 오직 하나만 솔루션은 존재 K 그들 중 하나가 이전에 발견 된 것 두 가지 솔루션이 마치 때문에, 그 과정은 작은으로 정지했을 K .
• 이 솔루션은 근본적인 솔루션입니다. 다시 x 가 더 작은 솔루션 이 있으면 이전에 발견 되었기 때문입니다.

`       % Do...while
  @:U   %   Push row vector [1^2, 2^2, ..., k^2] where k is the iteration index
  t!    %   Duplicate and transpose. Gives the column vector [1^2; 2^2; ...; k^2]
  G*    %   Multiply by input n, element-wise. Gives [n*1^2; n*2^2; ...; n*k^2]
  -     %   Subtract with broadcast. Gives a square matrix of size n
  !     %   Transpose, so that x corresponds to row index and y to column index
  1=&f  %   Push row and column indices of all entries that equal 1. There can
        %   only be (a) zero such entries, in which case the results are [], [],
        %   or (b) one such entry, in which case the results are the solution x, y
  ts~   %   Duplicate, sum, negate. This gives 1 in case (a) or 0 in case (b)
        % End (implicit). Proceed with next iteration if top of the stack is true;
        % that is, if no solution was found.
        % Display (implicit). The stack contains copies of [], and x, y on top.
        % The empty array [] is not displayed

파이썬 2 , 49 바이트

a=input()**.5
x=2
while x%a*x>1:x+=1
print x,x//a

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x1보다 작은 최소값을 찾습니다 x % sqrt(n) <= 1/x. 그런 다음, 발견 y에서 x등 y = floor(x / sqrt(n)).

하스켈 , 46 바이트

간단한 무차별 대입 검색. 이것은 근본적인 해결책이라는 사실을 이용합니다.$(x,y)$ 만족스러운 $x^2 - ny^2 = 1$ 있어야합니다 $y \leq x$.

f n=[(x,y)|x<-[1..],y<-[1..x],x^2-n*y^2==1]!!0

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C # (Visual C # 대화식 컴파일러), 70 69 바이트

n=>{int x=1;var y=.1;for(;y%1>0;)y=Math.Sqrt(-x*~++x/n);return(x,y);}

내 Java 8의 포트는 응답 하지만 바이트를 저장하기 위해 문자열 대신 튜플을 출력합니다.

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젤리 , 15 바이트

‘ɼ²×³‘½µ⁺%1$¿;®

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단일 인수를 사용 n하고 튜플을 반환하는 전체 프로그램 입니다 x, y.

껍질 , 12 바이트

ḟΛ¤ȯ=→*⁰□π2N

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설명

ḟΛ¤ȯ=→*⁰□π2N  Input is n, accessed through ⁰.
           N  Natural numbers: [1,2,3,4,..
         π2   2-tuples, ordered by sum: [[1,1],[1,2],[2,1],[1,3],[2,2],..
ḟ             Find the first that satisfies this:
 Λ             All adjacent pairs x,y satisfy this:
  ¤     □       Square both: x²,y²
   ȯ  *⁰        Multiply second number by n: x²,ny²
     →          Increment second number: x²,ny²+1
    =           These are equal.

MathGolf , 12 바이트

ökî²*)_°▼Þ√î

온라인으로 사용해보십시오!

출력 형식과 관련하여 Hail Mary를 던지고 있습니다. 허용되지 않으면 1 바이트 길이의 솔루션이 있습니다. 출력 형식은입니다 x.0y. 여기서 .0두 숫자 사이의 구분 기호입니다.

설명

ö       ▼      do-while-true with popping
 k             read integer from input
  î²           index of current loop (1-based) squared
    *          multiply the two
     )         increment (gives the potential x candidate
      _        duplicate TOS
       °       is perfect square
         Þ     discard everything but TOS
          √    square root
           î   index of previous loop (1-based)

나는 Emigna의 05AB1E 답변에서 영감을 얻었지만 몇 가지 개선 사항을 찾을 수있었습니다. 선택한 구분 기호가 허용되지 않으면 바이트 수 13의 마지막 바이트 앞에 공백을 추가하십시오.

APL (NARS), 906 바이트

r←sqrti w;i;c;m
m←⎕ct⋄⎕ct←0⋄r←1⋄→3×⍳w≤3⋄r←2⋄→3×⍳w≤8⋄r←w÷2⋄c←0
i←⌊(2×r)÷⍨w+r×r⋄→3×⍳1≠×r-i⋄r←i⋄c+←1⋄→2×⍳c<900⋄r←⍬
⎕ct←m

r←pell w;a0;a;p;q2;p2;t;q;P;P1;Q;c;m
   r←⍬⋄→0×⍳w≤0⋄a0←a←sqrti w⋄→0×⍳a≡⍬⋄m←⎕ct⋄⎕ct←0⋄Q←p←1⋄c←P←P1←q2←p2←0⋄q←÷a
L: t←p2+a×p⋄p2←p⋄p←t
   t←q2+a×q
   :if c≠0⋄q2←q⋄:endif
   q←t           
   P←(a×Q)-P
   →Z×⍳Q=0⋄Q←Q÷⍨w-P×P
   →Z×⍳Q=0⋄a←⌊Q÷⍨a0+P
   c+←1⋄→L×⍳(1≠Qׯ1*c)∧c<10000
   r←p,q
   :if c=10000⋄r←⍬⋄:endif
Z: ⎕ct←m

위의 바닥 제곱근을 발견하는 sqrti 함수와 pell 함수는 Zilde를 오류로 반환하고 http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html 페이지를 기반으로하는 두 가지 함수 가 있습니다. 숫자 trhu의 sqrt는 분수를 계속하고 (뉴턴 방법을 사용하여 sqrt를 알기 위해 하나의 알고리즘을 사용하더라도) p와 q를 찾으면 중지합니다.

 p^2-w*q^2=1=((-1)^c)*Qnext

테스트:

  ⎕fmt pell 1x
┌0─┐
│ 0│
└~─┘
  ⎕fmt pell 2x
┌2───┐
│ 3 2│
└~───┘
  ⎕fmt pell 3x
┌2───┐
│ 2 1│
└~───┘
  ⎕fmt pell 5x
┌2───┐
│ 9 4│
└~───┘
  ⎕fmt pell 61x
┌2────────────────────┐
│ 1766319049 226153980│
└~────────────────────┘
  ⎕fmt pell 4x
┌0─┐
│ 0│
└~─┘
  ⎕fmt pell 7373x
┌2───────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 146386147086753607603444659849 1704817376311393106805466060│
└~───────────────────────────────────────────────────────────┘
  ⎕fmt pell 1000000000000000000000000000002x
┌2────────────────────────────────────────────────┐
│ 1000000000000000000000000000001 1000000000000000│
└~────────────────────────────────────────────────┘

sqrti 함수의 루프에는 사이클에 대한 제한이 있으며 Pell 함수의 루프에는 사이클에 대한 제한이 있습니다. 가능한 경우의 숫자가 너무 크거나 수렴되지 않습니다 ... (sqrti인지 알 수 없음) 가능한 모든 입력을 수렴하고 동일한 Pell 기능을 수렴하십시오)

그루비 , 53 바이트

n->x=1;for(y=0.1d;y%1>0;)y=((++x*x-1)/n)**0.5;x+" "+y

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Kevin Cruijssen 포트 의 Java 및 C # 답변

Pyth, 15 바이트

fsIJ@ct*TTQ2 2J

여기에서 온라인으로 사용해보십시오 . x그런 다음 출력은 y개행으로 분리됩니다.

Wolfram Language (Mathematica) , 41 바이트

{1//.y_/;!NumberQ[x=√(y^2#+1)]:>y+1,x}&

√3 바이트 유니 코드 문자 # 221A입니다. (x, y) 대신 (y, x) 순서로 솔루션을 출력합니다. 불완전 //.하고 제한된 반복에서는 평소와 같이 실제 값이 y최대 65538 인 입력에서만 작동합니다 .

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> <> , 45 바이트

11v
+$\~:1
:}/!?:-1v?=1-*}:{*:@:{*:
$  naon;>

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브 루트 포스 알고리즘에서 검색 x=2하여, 위쪽 y=x-1및 증분 각 루프 감소시키는 x경우 y에 도달하면 0이 출력되고 x다음 y개행로 분리.

C # (Visual C # 대화식 컴파일러) , 69 바이트

n=>{for(int x=2,y;;x++)for(y=0;y<=x;y++)if(x*x-y*y*n==1)return(x,y);}

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파이썬 3 , 75 바이트

lambda i:next((x,y)for x in range(2,i**i)for y in range(x)if~-x**2==i*y**2)

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설명

무차별 대입 사용

이 코드는 Python 2에서도 실행됩니다. 그러나 Python 2의 range () 함수는 Python 3과 같은 생성기 대신 목록을 생성하므로 엄청나게 비효율적입니다.

초기 시간과 메모리를 사용하면 반복자 대신 목록 이해를 사용하고 다음과 같이 3 바이트를 절약 할 수 있습니다.

파이썬 3 , 72 바이트

lambda i:[(x,y)for x in range(i**i)for y in range(x)if~-x**2==i*y**2][1]

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Python 2, 64 bytes

f=lambda n,x=2,y=1:x*x-n*y*y-1and f(n,x+(x==y),y*(y<x)+1)or(x,y)

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Returns (x, y).