소개

이 도전에서, 우리는 무한한 무 방향 그래프를 다룰 것인데, 이것을 높은 제수 그래프 라고 부릅니다 . 그 노드는 두 개의 노드 사이에 에지가 2부터 시작되는 정수 은 <B 의 경우 분할 된 B 및 ² ≥ B는 . 2에서 18까지의 범위로 형성된 하위 그래프는 다음과 같습니다.

16-8 12 18
  \|/ |/|
   4  6 9 10 15 14
   |  |/   |/   |
   2  3    5    7  11 13 17

무한 높은 제수 그래프가 연결되어 있음을 알 수 있으므로 두 노드 사이의 최단 경로를 물어볼 수 있습니다.

입력과 출력

입력 값은 두 개의 정수 a 와 b 입니다. 2 ≤ a ≤ b <1000 이라고 가정 할 수 있습니다 . 출력은 무한 높은 제수 그래프에서 a 와 b 사이의 최단 경로 길이입니다 . 이것은 경로의 가장자리 수를 의미합니다.

다음 사실이 유용하다는 것을 알 수 있습니다. 항상 a 에서 b 까지의 최적 경로가 항상 증가하고 감소하며 2b ² 미만인 노드 만 방문 합니다. 특히, b <1000 이므로 2 000 000 미만의 노드 만 고려하면됩니다.

예

입력 3과를 고려하십시오 32. 노드 3과 32 사이의 가능한 경로는

3 -- 6 -- 12 -- 96 -- 32

이 경로에는 네 개의 모서리가 있으며 짧은 경로가 없으므로 올바른 출력은 4입니다.

다른 예로서, 2and에 대한 최적의 경로 25는

2 -- 4 -- 8 -- 40 -- 200 -- 25

올바른 출력은 5입니다. 이 경우 최적 경로에 노드가 포함되지 않습니다 50 = lcm(2, 25).

규칙과 득점

전체 프로그램 또는 함수를 작성할 수 있습니다. 가장 낮은 바이트 수가 이기고 표준 허점은 허용되지 않습니다. 시간이나 메모리 제한이 없으므로 무차별 강제 실행이 허용됩니다.

테스트 사례

2 2 -> 0
2 3 -> 4
2 4 -> 1
2 5 -> 5
3 5 -> 4
6 8 -> 2
8 16 -> 1
12 16 -> 2
16 16 -> 0
2 25 -> 5
3 32 -> 4
2 256 -> 3
60 77 -> 3
56 155 -> 3
339 540 -> 2
6 966 -> 4
7 966 -> 2
11 966 -> 4
2 997 -> 7
991 997 -> 4

MATLAB, 218 (190) 175 바이트

function f(a,b);q=a;l(b)=0;l(a)=1;while~l(b);x=q(1);q=q(2:end);l(end+1:x^2)=0;g=x+1:x^2;s=2:x-1;u=[g(~mod(g,x)),s(~mod(x,s)&s.^2>=x)];u=u(~l(u));q=[q,u];l(u)=l(x)+1;end;l(b)-1

목록 확장 단계의 바로 가기에 대해 @beaker에게 감사드립니다!

이것은 비교적 간단한 dijkstra 구현입니다.

q=a;                  %queue
l(b)=0;       %list of path lengths
l(a)=1;
while~l(b);         %if there is no predecessor to b
    x=q(1);         %get first queue element
    q=q(2:end);
    %add edges 
    l(end+1:x^2)=0;% lengthen predecessor list if too short
    g=x+1:x^2;      % g=greater neighbours
    s=2:x-1;        % s=smaller neighbours %keep only valid/unvisited neighbours 
    u=[g(~mod(g,x)),s(~mod(x,s)&s.^2>=x)]; %-1byte
    u=u(~l(u));
    q=[q,u];      %add only hte valid nodes edges to queue
    l(u)=l(x)+1;       %mark x as predecessor  
end;
l(b)-1 %output length to the end of the path

_{^{오늘 컨볼 루션 없음}}

자바 스크립트 (ES6), 186 바이트

(m,n)=>(g=i=>{for(q=[i],r=[],r[i]=j=0;i=q[j++];)for(k=i+i;k<=i*i&(k<m*m*2|k<n*n*2);k+=i)r[k]-r[i]<2?0:r[q.push(k),k]=r[i]+1},g(m),s=r,g(n),Math.min(...r.map((i,j)=>i+s[j]).filter(i=>i)))

도우미 함수를 사용 g에서 모두에게 상승 경로를 계산 m하고 n제공된 한계까지 차례로, 다음 함께 경로를 반환 가장 낮은 값을 요약한다.

Mathematica 98 바이트

내장 함수 FindShortestPath가 표준 허점에 대한 제약 조건을 위반하지 않는다고 가정합니다 . 그렇다면 알려 주시면이 제출물을 삭제하겠습니다.

무차별 대입 값이 크면 느려집니다 b. 나는 여전히 속도를 높이는 방법을 생각하고 있습니다.

h@{a_,b_}:=Length@FindShortestPath[Graph[Apply[Join,Thread[#<->Range[2,#] #]&/@Range[b^2]]],a,b]-1

노드 사이의 적절한 가장자리 그래프 업이 세트 a로 b^2. FindShortestPath그래프에서 최단 경로를 찾습니다. Length노드를 계산합니다. Length -1가장자리 수입니다.

Thread[# <-> Range[2, #] #] &전체 그래프의 가장자리를 생성합니다. 예를 들어, Thread[# <-> Range[2, #] #]&[5]가장자리를 생산하는 것 {5 <-> 2*5, 5 <-> 3*5, 5 <-> 4*5, 5 <-> 5*5}입니다, {5 <-> 10, 5 <-> 15, 5 <-> 20, 5 <-> 25}.

MATLAB (195) (185) (181) (179)(173)

참고 : 나 사용자 Agawa001 개인적으로 나는 그의 도움을 사용하여 @flawr 사용자를 이겼 음을 증명한다.

 function t(a,b,p),for r=0:1,d=(b*~r+r*a)/gcd(a,b);while(d>1)p=p+1;e=find(~rem(d,1:d));f=max(e(a^(1-r/2)>=e));a=a*min([find(1:a*a>=b) a])^~(f-1);d=d/f;a=a*f^(1-2*r);end,end,p

• 이 함수는 다른 함수와 다르며, 순수한 수학 계산 및 인수 분해를 따르지만 경로 또는 그래프와는 아무런 관련이 없습니다.

• 함수 호출의 예 :

   t(2,3,0)
  
   p =
  
   4
  

  모든 테스트 사례가 충족됩니다

• 설명:

설명을 시작하기 전에 "녹색이 아닌"일부 보조 정리를 증명할 수 있습니다.

렘마 (1) : 두 숫자 사이의 최적 경로 (a,b)는 노드가 먼저 증가하고 감소하는 방식으로 존재합니다.

왜 ? 이것은 임의의 숫자를 나누는 최대 정수량 a이 각각 숫자 a자체보다 크므로 영리한 접근 방식 a으로 최대한 크게 곱한 다음 더 큰 값으로 나누도록 선택해야 하기 때문에 간단하게 증명 됩니다. 우리가 그 길 a을 가면 숫자가 줄어들 기 때문에 우리가 분배 된 점진적으로 곱하기 위해 더 많은 반복이 필요합니다.

보조 정리 (2) : 숫자에서 a에 b경우 gcd(a,b)=1 a를 곱 b하면, b보다 더 큰 a이 알려진 수를 곱한 될 c경우 gcd>1 a의 가장 큰 제수로 점진적으로 곱해야한다 b/gcd라는 이름의 d상태를 검증하는 것이 a >= d아니라 모두가 때 d', 즉이야 최소보다 더 큰 a, a수신 a*c다시.

이 가정은 어떤 시작 노드가 증명 간단 a는 가장 작은 여러 도달 할 때까지 곱해야 a하고 b그래서 하나 우리 곱셈의 비율로 b*gcd분할 프로세스가 시작되기 전에 보장 항상 최단 경로가 SMP 것을 주요 조건을 확인 최대에 의해 시작, 또는 d사용할 수없는 경우이 첫 번째 단계에 유효한 조건을 만들기 위해 숫자 c를 곱합니다 .aa>=d

보조 정리 (3) : 그래프-ultimum에서의 배수 a에 b해당 숫자의 GCD하고 b있다 b자체

이것은 이전 조작의 결과 일 뿐이며 마지막 남은 단계는 제곱근을 초과하지 않는 최대 제수로 점차적으로 나뉩니다.

딜레마 :c 반복적으로 곱할 최적의 숫자는 a1 단계의 열림 조건과 궁극의 열림 조건으로 이어집니다.

좋은 질문은 간단한 상황에 대해 간단한 패리가 있으므로 두 끝의 예를 (a,b)=(4,26)다음과 같이 인수 분해 한다고 가정합니다 .

  2 | 2
  2 | 13

외에도에서 gcd=2곱해야 느릅 나무 작은 정수 2범위가 13있다 7,하지만 2보다 큰 사촌 제곱되도록이 분명히 배제된다.

  2 | 2 
  5 | 13

두 번째 예에서 Appearenlty은 (a,b)=(10,26)상기 c에서 최저 정수 측정 1에 5초과 13/5따라서이를 만족 그래프이다 스케일링의 조건 3다음 단계 여기서 곱한되도록,3

  2 | 2 
  5 | 13
  3 |

왜 ? 이는 2*13/gcd=13테이블의 두 번째면과 일치시키기 위해 곱한 후에 이전에 추가 한 정크 양이 최적으로 가장 작고 그래프를 따라 이동하는 것이 최소화 될 수 10있기 때문입니다. 가장 적은 시간이 줄어들었고, 우리의 목표에 도달하기 위해 또 하나의 분할 단계가 증가했을 것 2*13입니다. 13*2*5*10/2*5다음에 열거됩니다 13*2*5/5. 분명히 여기에서 나눌 수는5*3<13*2

그리고 한가지 더 ........ HAIL MATHS ...

이것들은 @flawr과 비교 결과입니다 .flawr의 알고리즘을 고려한 시간 실행에 대한 상한선을 만들었습니다. 시간이 너무 많이 걸립니다!

온라인 컴파일 가능 코드의 헤더에 시작 및 종료 스캔 범위를 변수 a 및 b로 삽입 할 수 있습니다.