내 직감은 어떤 구가 2D 공간으로 투영 될 때 결과는 항상 수학적으로 타원 (또는 축퇴 된 경우의 원)이된다는 것입니다.

과거에 나는 내 자신의 그래픽 프로그래밍을 적극적으로 수행하고 있었고 다른 사람들과 함께이 문제를 제기했을 때, 내가 틀렸다는 것을 단호하게 생각했다. 내가 정확하게 기억한다면 그들은 결과가 모호한 "계란 모양"일 수 있다고 생각했습니다.

누가 맞았습니까?

이미 제출 된 답변이 하나이므로 질문을 완전히 바꾸고 싶지는 않지만 몇 년 동안 해당 분야에 익숙하지 않아 중요한 세부 정보를 생략했습니다.

프로젝션이 선형 응용 인 투시 프로젝션 에 대해 구체적으로 묻고 자했습니다 .

다른 프로젝션은 물론 많은 용도에 흥미가 있으므로이 시점에서 제거하지 않기를 바랍니다. 그러나 답변이 가장 두드러진 부분으로 투시 투영을 가질 수 있다면 좋을 것입니다.

원근 투영과 구 외부의 시점을 가정하면, 시점과 수평선에 WRT를 형성하는 구의 원에 의해 형성된 '경계'는 원뿔이됩니다.

(평면에서) 투시 투영을하는 것은 원뿔 단면을 생성하는 평면과이 원뿔을 교차시키는 것과 같습니다. 참고로, 퇴행하지 않은 네 가지 사례가 Wikipedia의이 이미지에 나와 있습니다.

타원 / 원은 가능성이 있지만 유일하게 무한한 포물선이나 쌍곡선이 아닙니다 (비행기가 눈을 통과하면 경우가 변할 수 있습니다).

이것은 @SimonF의 대답에 대한 긴 의견과 비슷합니다.

모든 원뿔 절단, 쌍곡선, 포물선 및 타원이 가능합니다. 3D 엔진에서 초광각 카메라로 이미지를 그려 테스트하기가 쉽습니다. 피사체가 초점의 중앙에 있지 않도록 카메라를 30도 각도로 회전시킵니다. 그런 다음 점차적으로 카메라를 구에 가깝게 이동하십시오.

이미지 1 : 약간 옆으로 보이는 구에 매우 가까이 비행. 우리가 갑자기 표면 형태를 뚫는 방법에 주목하십시오.

구가 매우 가까워 졌을 때 다시 캡처하려면 넓은 이미지에서 그림을 빠져 나가 포물선 또는 쌍곡선 일 수 있습니다. 그러나 모양은 프레임을 나가기 만하면됩니다.

프로젝션 시스템은 3D 모양을 평면 (2D) 모양으로 변환하는 데 사용됩니다.

프로젝션 시스템의 유형에 따라 사각형, 파이, 타원, 원과 같은 다른 결과와 모양이 구에서 생성 될 수 있습니다.

프로젝션 시스템은 생성 된 결과의 특성으로 분류 할 수 있습니다.

계속하기 위해, 우리가 전에 본 지구 구체와 넓은지도에서 매우 감동적이고 일반적인 예를 사용하고 싶습니다.

당신의 구체가 지구라고 가정하십시오!

지구를 구체로, 지구의 구형으로 만든 평면 세계지도로 상상해보십시오. 대부분의 세계지도에서 극지방에 가까운 국가는 실제로 아프리카 대륙의 1/14 인 아이슬란드와 같이 실제로 실제보다 훨씬 커지고 있지만지도는 모두 동일하게 표시됩니다. 이것은 하나의 차원을 생략 할 때 모양의 한 특성을 잃기 때문입니다.

다른 프로젝션 시스템과 결과

이것은 거리, 각도 또는 면적을 보존하지 않는 평면 투영입니다. 빨간색 원은이 투영의 결과 인 과장 정도를 나타냅니다.

동등한 지역, 이것에서 아이슬란드와 아프리카를보고 위와 비교하십시오.

프로젝션 시스템은 보존 대상에 따라 분류 할 수 있습니다.

1. 동일한 지역.
2. 왜곡없이 형태를 유지하는 균일 한 각도 (conformal)
3. 동등한 거리.
4. ......

컨 포멀 프로젝션은 모양을 유지하지만 영역은 유지되지 않습니다 (위의 첫 번째 그림). 이것은 많은 응용 분야에서 사용되는 가장 유명한 프로젝션 시스템입니다. 당신의 구체는 여기 사각형입니다!

따라서 구가 항상 타원으로 투영된다고 말할 수는 없습니다. 위에서 언급했듯이 구는 직사각형 (첫 번째 모양)으로 투영되거나 타원이지만 특성 (등각, 거리, 모양, 면적-다음 그림 참조)이 다르거 나 구를 원추형으로 투영 할 수도 있습니다. 원뿔형을 열어 파이를 만드십시오.

위의 각 투영 시스템에는 인터넷에서 찾을 수있는 반복 또는 직접 알고리즘을 적용 할 수 있습니다. 나는 당신이 묻지 않았기 때문에 공식과 변형에 대해 이야기하지 않았습니다. 이 답변이 도움이 되길 바랍니다.

원근법 투영에서 타원 만 구에서 생성됩니다

수평면으로 원뿔을 자르면 원이 만들어집니다.

비스듬한 평면으로 절단하면 절단 각도에 따라 타원 또는 쌍곡선이되는 경사가 생성되며이 각도가 수직으로 기울어지면 포물선이 생성됩니다 (그림 참조).

아마도 이것은 분명하지만 방정식을 살펴보십시오.

간단히하기 위해 모든 형상이 원점 중심이라고 가정했습니다.

방정식 :

$x^2+y^2=r^2$

$x^2/a^2+y^2/b^2=1$

$x^2/a^2-y^2/b^2=1$

$y^2=4ax$

형태학 :

타원에는 분명히 두 개의 초점이 있습니다. 특별한 종류의 줄임표 인 원에는 두 개의 초점이 있지만 일치합니다. 그러나 쌍곡선은 동일한 줄임표의 축 거울이며 두 초점도 있습니다. 포물선에는 하나의 초점이 있지만 실제로는 두 번째 초점이 무한대이기 때문에 두 개가 있습니다.

결론

모든 것이 타원이지만, 특수한 경우를 설명하기 위해 이름을 다르게 지정할 수도 있지만, 게임에서 구현하려면 타원 방정식을 가정하면 충분합니다. 둘 중 하나가 옳을 수 있기 때문에 어느 쪽이 옳은지 알 수 없습니다.

SimonF의 추론은 기본적으로 저를 설득했습니다. 다음과 같은 구체가있는 UE4 레벨을로드했습니다.

카메라의 FOV를 160도까지 설정하여 원근 왜곡이 많이 발생하고 구가 이미지의 모서리 근처에 오도록 배치했습니다.

그런 다음 이것을 Inkscape로 가져 와서 타원 도구를 사용하여 그렸습니다.

놀람! 완벽하게 맞습니다!

구를 한 번 슬라이스 할 때 형성된 포물선 또는 쌍곡선이 없습니다. 원인 특수한 경우를 제외하고는 타원이 없으며 결과는 항상 원입니다. 구를 기울어 진 평면에 투영하면 타원이 생깁니다.