메쉬 삼각형의 주 곡률을 계산하는 가장 간단한 방법은 무엇입니까?

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메쉬가 있고 각 삼각형 주위의 영역에서 주 곡률 방향의 추정치를 계산하고 싶습니다. 나는 전에 이런 종류의 일을 한 적이 없으며 Wikipedia 는별로 도움이되지 않습니다. 이 추정치를 계산하는 데 도움이되는 간단한 알고리즘을 설명하거나 설명해 주시겠습니까?

모든 정점의 위치와 법선을 알고 있다고 가정합니다.

mesh

— ap_
소스

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스킨 쉐이더에 대한 메쉬 곡률의 추정이 필요할 때, 내가 결정한 알고리즘은 다음과 같습니다.

먼저 메쉬의 각 모서리에 대한 스칼라 곡률을 계산했습니다. 가장자리에 및 법선 있으면 곡률이 다음과 같이 추정됩니다. $p_1, p_2$ $n_1, n_2$

곡률 = \frac{(엔_{2} - 엔_{1}) \cdot (피_{2} - 피_{1})}{| 피_{2} - 피_{1} |^{2}}

$\text{curvature} = \frac{(n_2 - n_1) \cdot (p_2 - p_1)}{|p_2 - p_1|^2}$

가장자리를 따라 투영 된 법선의 차이를 가장자리 길이의 일부로 계산합니다. (이 공식을 생각해 낸 방법은 아래를 참조하십시오.)

그런 다음 각 정점에 대해 모든 모서리의 곡률을 만졌습니다. 제 경우에는 "평균 곡률"의 스칼라 추정값을 원했기 때문에 각 정점에서 모든 모서리 곡률의 절대 값에 대한 기하학적 평균을 취했습니다. 경우에 따라 최소 곡률과 최대 곡률을 찾아서 그 가장자리를 주요 곡률 방향으로 지정할 수 있습니다 (정점 법선으로 직교 정규화 할 수 있음). 약간 거칠지 만 원하는 일에 대해 충분한 결과를 얻을 수 있습니다.

이 공식의 동기는 원에 적용될 때 2D에서 일어나는 일을 살펴보고 있습니다.

원의 두 점에 적용되는 곡률 공식

반지름이 원 (곡률이 )이고 원에 법선이 두 점이 있다고 가정합니다 . 원의 중심을 기준으로 한 점의 위치는 원 또는 구의 법선이 항상 중심에서 직접 지적하는 특성으로 인해 및 됩니다. $r$ $1/r$ $n_1, n_2$ $p_1 = rn_1$ $p_2 = rn_2$

따라서 로 반경을 복구 할 수 있습니다. 또는. 그러나 일반적으로 정점 위치는 원의 중심을 기준으로하지 않습니다. 우리는 두 가지를 차감하여이 문제를 해결할 수 있습니다 $r = |p_1| / |n_1|$ $|p_2| / |n_2|$

\begin{aligned} 피_{2} - 피_{1} & = 아르 자형 엔_{2} - 아르 자형 엔_{1} \\ = 아르 자형 (엔_{2} - 엔_{1}) \\ 아르 자형 & = \frac{| 피_{2} - 피_{1} |}{| 엔_{2} - 엔_{1} |} \\ 곡률 = \frac{1}{아르 자형} & = \frac{| 엔_{2} - 엔_{1} |}{| 피_{2} - 피_{1} |} \end{aligned}

$\begin{aligned} p_2 - p_1 &= rn_2 - rn_1 \\ &= r(n_2 - n_1) \\ r &= \frac{|p_2 - p_1|}{|n_2 - n_1|} \\ \text{curvature} = \frac{1}{r} &= \frac{|n_2 - n_1|}{|p_2 - p_1|} \end{aligned}$

결과는 원과 구체에 대해서만 정확합니다. 그러나 좀 더 "허용"하도록 확장하고 임의의 3D 메시에 사용하면 합리적으로 잘 작동하는 것 같습니다. 벡터 을 가장자리 방향 투영하여 공식을보다 "허용"할 수 있습니다 . 이를 통해이 두 벡터가 정확히 평행하지 않을 수 있습니다 (원형의 경우처럼). 우리는 평행하지 않은 구성 요소를 투사합니다. 정규화 된 에지 벡터를 사용하여이를 수행 할 수 있습니다. $n_2 - n_1$ $p_2 - p_1$

\begin{aligned} 곡률 & = \frac{(엔_{2} - 엔_{1}) \cdot 정규화하다 (피_{2} - 피_{1})}{| 피_{2} - 피_{1} |} \\ = \frac{(엔_{2} - 엔_{1}) \cdot (피_{2} - 피_{1}) / | 피_{2} - 피_{1} |}{| 피_{2} - 피_{1} |} \\ = \frac{(엔_{2} - 엔_{1}) \cdot (피_{2} - 피_{1})}{| 피_{2} - 피_{1} |^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \text{curvature} &= \frac{(n_2 - n_1) \cdot \text{normalize}(p_2 - p_1)}{|p_2 - p_1|} \\ &= \frac{(n_2 - n_1) \cdot (p_2 - p_1)/|p_2 - p_1|}{|p_2 - p_1|} \\ &= \frac{(n_2 - n_1) \cdot (p_2 - p_1)}{|p_2 - p_1|^2} \end{aligned}$

자,이 답의 맨 위에 공식이 있습니다. 그건 그렇고, 부호있는 투영 (도트 제품) 을 사용하면 좋은 점은 수식이 볼록면에 양수이고 오목면에 음수 인 부호있는 곡률을 제공한다는 것입니다.

내가 상상할 수는 있지만 시도하지 않은 또 다른 접근법 은 각 정점에서 표면 의 두 번째 기본 형태 를 추정하는 것 입니다. 이것은 정점에 탄젠트 기준을 설정 한 다음 모든 인접한 정점을 해당 탄젠트 공간으로 변환하고 최소 제곱을 사용하여 가장 적합한 2FF 매트릭스를 찾아서 수행 할 수 있습니다. 그러면 주 곡률 방향이 해당 행렬의 고유 벡터가됩니다. 가장자리가 해당 방향을 명시 적으로 가리 키지 않고 인접한 정점에 의해 "암시적인"곡률 방향을 찾을 수 있다는 점에서 흥미로워 보이지만 다른 한편으로는 훨씬 더 많은 코드, 더 많은 계산 및 수치 적으로 덜 강력합니다.

이 접근 방식을 취하는 논문은 Rusinkiewicz, "삼각형 메쉬에 곡률 및 그 파생물 추정" 입니다. 삼각형 당 가장 적합한 2FF 행렬을 추정 한 다음 정점 당 행렬을 평균화합니다 (매끄러운 법선 계산 방법과 유사).

— 나단 리드
소스

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참고로 중요한 것은 블렌더 .stackexchange.com / questions / 146819 /… 여기에 귀하의 답변을 사용 했지만 p1 주위의 각도를 사용하여 가중치를 추가합니다. 당신이 그 가치를 발견하는지 몰라? 어쨌든 의견을 주시기 바랍니다. 감사.

— 레몬

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탁월한 @NathanReed 답변에 다른 방법을 추가하기 위해 별도의 Laplace-Beltrami로 얻을 수있는 평균 및 가우스 곡률을 사용할 수 있습니다.

그래서 그 1 링 이웃 가정 같은 메시의 모습에 $v_i$

$A(v_i)$ 는 단순히이 고리를 형성하는 삼각형 영역의 있으며 표시된 는 인접한 정점 중 하나입니다. $\frac{1}{3}$ $v_j$

이제 특정 지점에서 메시에 의해 정의 된 함수 (분화 가능한 매니 폴드)를 라고합시다 . 내가 아는 Laplace-Beltrami 연산자의 가장 보편적 인 이산화는 코탄젠트 이산화이며 다음과 같이 제공됩니다. $f(v_i)$

Δ_{에스} 에프 (V_{나는}) = \frac{1}{2 ㅏ (V_{나는})} \sum_{V_{제이} \in 엔_{1} (V_{나는})} (씨 영형 티 α_{나는 제이} + 씨 영형 티 β_{나는 제이}) (에프 (V_{제이}) - 에프 (V_{나는}))

$\Delta_S f(v_i) = \frac{1}{2A(v_i)} \sum_{v_j \in N_1(v_i)} (cot \alpha_{ij} + cot \beta_{ij}) (f(v_j) - f(v_i))$

어디 의 하나 개의 고리 근처에있는 모든 정점을 의미 . $v_j \in N_1(v_i)$ $v_i$

이것은 평균 곡률을 계산하는 것이 매우 간단합니다 (이제 단순성을 위해 관심있는 정점에서 단순히 메쉬의 함수를 라고합시다 ). $v$

H = \frac{1}{2} | | Δ_{에스} V | |

$H = \frac{1}{2} || \Delta_S v ||$

이제 각도 를 소개하겠습니다 $\theta_j$

가우스 곡률은 다음과 같습니다.

케이 = (2 π - \sum_{제이} θ_{제이}) / ㅏ

$K = (2\pi - \sum_j \theta_j) / A$

이 모든 고통 후에, 주요 이산 곡률은 다음과 같이 주어집니다.

{케이}_{1} = H + \sqrt{H^{2} - 케이} 과 {케이}_{2} = H - \sqrt{H^{2} - 케이}

$k_1 = H + \sqrt{H^2 - K} \ \ \text{and} \ \ k_2 = H - \sqrt{H^2 - K}$

당신이 주제에 관심이있는 (그리고이 게시물에 대한 일부 참조를 추가 할) 경우 훌륭한 읽기는 다음과 같습니다 삼각 2 매니 폴드에 대한 이산 미분 기하 연산자 [마이어 외. 2003].

이미지에 대해서는 전 교수 인 Niloy Mitra에게 강의에 사용한 메모에서 찾은 것에 감사합니다.

— 시프 즈
소스

두 대답 모두 정말 좋았습니다. 선택하기가 어려웠습니다. 가장 간단한 방법에 대해 물었으므로 Nathan이 케이크를 먹는 것 같습니다.

— ap_

2

Meyer et al. 2003 년은 경계 정점의 곡률을 계산하는 방법에 대해 언급하지 않았을 것입니다. 각이 적자 접근 방식을 취 경계 정점에 대한 가우스 곡률은 합니다.

K = (π - \sum_{j} θ_{j}) / A_{m i x e d}

$K = (\pi - \sum_j{\theta_j})/A_{mixed}$

— teodron

@teodron 경계 정점의 평균 곡률에 대한 통찰력이 있습니까? 그러한 것을 정의 할 수 있습니까?

— Museful

@Museful 표면 유형에 관계없이 평균 곡률이 음수가 아닌 것에 대해 약간 걱정하고 있습니다. Laplacian과 같은 연산자가 경계 정점에 정의되어 있으면 에서 입사하는 표면의면을 구성하는 삼각형 만 포함하여 동일한 식을 평가해야합니다 . 그러나 이산 곡률에 대한 최근 논문이 있습니다.

v_{i}

$v_i$

— teodron

-1

@ Nathan-Reed : Nathan-Reed의 대답에 대한 질문 : 왜 기하학적 의미를 사용 했습니까? 가우스 곡률 후에 "모델링"되었기 때문입니까?

— 가브리엘
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— Dragonseel