지구의 수평선 모양에 대한 공식에 대한 평판 좋은 출처가 필요합니다.

내가 요구하는 것

나는 공식을 요구하지 않는다는 점을 강조한다. --- 공식을 알고 있으며 그것을 도출하는 방법. 게시물의 끝 부분에 여러 버전이 재현되어 있습니다. 사실, 다른 누군가도 그것을 파생했을뿐만 아니라 여기 에서 파생물 중 하나를 멋지게 제시했습니다 .

내가 필요한 것은 공식 의 평판 좋은 출처 이므로 예를 들어 독창적 인 연구보고에 대한 금지를 위반하지 않고 위키 백과에 넣을 수 있습니다. [사람들은 실제로 시도했습니다 ... 그러나 관련 기사 에는 독창적 인 연구라는 근거로 섹션을 삭제 한 매우 양심적 인 편집자가 있습니다 ... 불행히도 편집자는 정확하므로 시도 할 필요가 없습니다. 싸울 수 있습니다.]

내가 Computer Graphics stackexchange에 게시하는 이유

이곳의 누군가가 지구가 궤도를 도는 모습을 모델링했을 수 있기 때문에, 아마도이 공식 (또는 그 일반화)이 책이나 저널, 회의 진행 과정, 수업 노트에 출판되어 있는지 알고있을 것입니다 등

"due googling"을했습니다

다른 사람이 본인을 대신하여 답변을 검색하도록 요청하지 않습니다. 이미 많은 인터넷 검색을 수행 했으며 마지막 수단으로 여기에 게시하고 있습니다. 저의 희망은 여기있는 누군가가 단순히 배트에서 바로 참조 를 알고 있다는 것입니다 . 그렇지 않으면 ... 글쎄, 나는 당신이 더 크고 더 나은 곳으로 이동하기 전에 적어도 당신이 아래의 예쁜 그림을 즐겼기를 바랍니다 (내가 그렇게 말하면, 모든 것을 컴퓨터 그래픽 에 관심이있는 사람들과 이야기하고 있습니다 ). 소지품.

가까이 오는 두 가지 소스

1. DK Lynch, "지구의 곡률을 시각적으로 식별"Applied Optics vol. 47, H39 (2008). 여기에서 무료로 사용할 수 있습니다 . 불행히도, 올바른 방법으로 (그다지 어렵지 않은) 작업을 수행하는 대신 저자는 (a) 완전히 이해하지 못하고 (b) 내가 알고있는 것에 동의하지 않는 핵을 선택했습니다. 올바른 공식.

2. R. Hartley 및 A. Zisserman, 컴퓨터 비전의 다중 뷰 형상, 2 차 에디션. (Cambridge University Press, 캠브리지 영국, 2004). Sec. 8.3, "이차에 투영 카메라의 동작", 우리는 읽습니다 :

2 차가 구이고 카메라 중심과 2 차 사이의 광선 원뿔이 오른쪽 원호라고 가정합니다. 즉, 등고선 생성기는 원이며, 카메라와 구 중심을 연결하는 선에 직교하는 원의 평면이 있습니다. 이것은이 선에 대한 형상의 회전 대칭에서 볼 수 있습니다. 구의 이미지는 원뿔을 이미지 평면과 교차시켜 얻습니다. 이 부분은 고전적인 원뿔형 섹션이므로 분명한 구의 윤곽이 원뿔형입니다.

원칙적으로 이것은 단지 더 많은 정보가 포함되어 있다면 정확히 필요한 것입니다-적어도 구까지의 거리와 구의 반경의 함수로서 원뿔의 편심에 대한 표현 핀홀 카메라가 수평선의 한 지점을 향한 경우와 같이 이미지 평면이 원뿔 의 생성자 에 수직 일 때)

학술 참조가 필요한 공식에 대한 세부 정보

우리는 대기가없는 완벽한 구형, 완벽한 매끄러운 지구를 가정합니다. 수평선에 이상적인 핀홀 카메라를 가리키고 직선 중앙 투영을 사용하여 카메라 뒷면의 수평선 이미지 모양 (예 : 필름에있을 모양- "필름 평면")을 계산합니다. . 다음 은이를 명확하게 하는 그래픽 ( Asymptote 로 제작 된 제품 )입니다.

위에서 보았 듯이 수평선의 이미지는 원뿔 섹션의 일부입니다. 하자 원뿔의 편심이 될; 위에서 언급 한 파생 은 대신 매개 변수 를 사용합니다 . 이는 역 편심입니다 : . 편심 자체는 으로 주어집니다 . 여기서 은 지구 표면과 지구 표면 위의 핀홀 고도 의 비율입니다. 반경 . [ 고도 대 의 비율 인 을 사용하는 대신 를 사용하는 것이 유용 할 수 있습니다$\varepsilon$$k$$k=1/\varepsilon$$\varepsilon=1/\sqrt{\epsilon(2+\epsilon)}$$\epsilon=h/R$$h$$R$$\epsilon$$R$$\eta$의 비율 지구의 중심까지의 거리, 핀홀 , 지구 반경 : . 와 관련하여 있습니다.]$h+R$$\eta=(R+h)/R=1+\epsilon$$\eta$$\varepsilon=1/\sqrt{\eta^{2}-1}$

핀홀 ( 그림의 지점 )에서 필름 평면 까지의 거리는 한 단위 길이로 간주됩니다.$P$

필름 평면 의 축은 지구 의 중심 (이미지에는 표시되지 않음)과 수평선의 점 ( 표시됨)을 연결하는 선에 평행하도록 선택됩니다.$y$$C$카메라가 훈련되는이미지에는 V 로. 광고 때문에 선택은 잘 정의 된 C V가 막 평면에 평행해야한다. 그 이유는 양이다 C V 및 필름면은 시선의 라인에 수직 인 P의 V (라인 합류 P 및 V를 ). 그리고그1. 라인 때문에 P V가 에서 지구 접선 V 에 따라서 수직$V$$CV$$CV$$PV$$P$$V$$PV$$V$ 및 2. P V는 카메라에서 훈련되기 때문에, 필름면에 수직 인 V . 의 X 축에 대해 수직은 물론이고 Y 필름면 내의 축 거짓 및 원점 포인트의 돌기로서 선택된다 V .$CV$$PV$$V$$x$$y$$V$

이러한 정의를 벗어나면 지구의 수평선 이미지 인 원뿔 섹션을 표현할 준비가되었습니다. 이것은 여러 가지 방법으로 작성 될 수 있으며 그 중 일부는 아래에 나와 있습니다. 내가 필요한 것은 이러한 수식 중 하나 또는 이와 동등한 수식에 대한 평판 좋은 참조입니다.

1. 위에서 언급 한 도출에 제공된 명시 적 공식

위에서 언급 한 파생 은 이것을 최종 버전으로 제공합니다.

$[\,y\,(1/\varepsilon-\varepsilon)-1\,]^{2}+x^{2}(1/\varepsilon^{2}-1)=1.$

이것을 몇 가지 추가 방법으로 표현해 봅시다.

원뿔 섹션의 정식 방정식에 의한 표현

이 경우 방정식은 다음 형식을 따릅니다 .

,$x^2=2\mu y-(1-\varepsilon^{2}) y^2$

여기서 우리의 경우 입니다.$\mu=\varepsilon$

표준 형식의 장점은 포물선의 경우를 포함하여 특히 인 등 모든 기초를 동일한 기초로 처리 할 수 ​​있다는 것 입니다. ``표준 ''제제 (아래 참조)에서 포물선의 경우는 한계 ε → 1 을 취해야 만 취급 할 수 있습니다 .$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

세부 사항 : 상기 화학식은 변의 각도 가비 오른쪽 원추의 경우에 보유 , 거리에 --- 교차되는 D 각도에서 비행기 --- 원뿔의 꼭지점으로부터 ω의 상대적인 원뿔 축에. (명확하게하기 위해 : d 는 원뿔 꼭짓점에서 원뿔 꼭짓점에 가장 가까운 타원 점까지의 거리입니다.이 점은 항상 타원의 주축 끝 중 하나입니다). 이 일반적인 경우, 편심 률은 ε = cos ω / cos θ 이며 μ = d ( ε - cos |$2\theta$$d$$\omega$$d$$\varepsilon=\cos \omega/\cos \theta$ .$\mu=d(\varepsilon-\cos|\omega+\theta|)$

위의 그래픽과 관련하여 : 는 P 에서 필름 평면까지의 거리 (즉, 점선으로 표시된 빨간색 선을 따른 거리)입니다. θ 는 점선으로 된 빨간 선과 원뿔의 축 ( P를 연결하는 선과 지구 중심) 사이의 각도 - 그래픽에서 h 로 표시된 검은 선의 연장선입니다 . 각도 ( ω) 는 콘의 축과 필름 평면 사이의 각도이다.$d$$P$$\theta$$P$$h$$\omega$

$\omega+\theta=\pi/2$$d=1$$\mu=\varepsilon$

3. 원추형 섹션의``표준 형식 ''으로 표현

이 양식은 아마도 가장 친숙 할 것입니다.

$\frac{(x-x_{0})^{2}}{p^2}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{q^2}=1$

다음과 같이 정규 방정식에 들어가는 매개 변수와 관련이 있습니다 (위의 2. 참조).

$x_{0}=0$

$y_{0}=q=\frac{\mu}{1-\varepsilon^{2}}$$\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon^{2}}$$y_{0}=q$

$p=q\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}=\frac{\mu}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$$\frac{\varepsilon}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$

$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

4. 파라 메트릭 커브로 표현

$x=\frac{(\epsilon+1) \cos (\alpha )}{\sin (\alpha )+\epsilon(\epsilon+2)}$

$y=\frac{\sqrt{\epsilon (\epsilon+2)} (\sin (\alpha )-1)}{\sin (\alpha )+\epsilon (\epsilon+2)},$

$\alpha$$\alpha=\pi/2$$V$

이러한 공식을 사용하는 방법에 대해서는 this를 참조 하십시오 .

결론적으로...

누구나 지구에서 우주가 어떻게 보이는지 모델링하는 맥락에서 유명한 출처에서 위의 공식을 보았습니까? 그렇다면이 출처를 알려주세요.

감사!

찾고있는 곡선은 평면 (카메라 뒷면)과 오른쪽 원뿔의 교차점입니다. 이것은 실제로 지구 또는 우주에서 본 행성의 전망에 관한 질문이 아닙니다. 단순한 단순한 3D 좌표 지오메트리입니다. 참조를 찾으려면 "평면과 원뿔의 교차점"또는 "원뿔의 평면 섹션"또는 "이차의 평면 섹션"을 검색하는 것이 좋습니다.

3D 좌표 지오메트리의 표준 텍스트에서 관련 수식 및 파생을 찾을 수있을 것으로 기대합니다. 가능한 장소는 다음과 같습니다.

• 연어-3 차원의 분석 기하학에 관한 논문
• 서머 빌-3 차원 분석 기하학
• 스나이더와 시삼-공간의 분석 기하학

이 책들은 모두 꽤 오래된 책이므로 찾기가 어려울 수 있습니다.

Math.StackExchange에 대해 문의 할 수도 있습니다.

파생을 "원래 연구"라고 부르는 것은 터무니없는 것 같습니다. 분석 기하학에서 고등학교 숙제 문제입니다.