이미지의 2D 푸리에 변환은 어떻게 작동합니까?

1D 푸리에 변환이 신호를 구성 요소 주파수로 분리하는 방법을 이해하지만 2D 푸리에 변환이 2D 이미지에 미치는 영향을 이해하는 데 어려움을 겪고 있습니다.

에서 또 다른 질문 , 존 Calsbeek는 에 연결 노이즈 함수의 품질을 측정에 대한 흥미 종이 . 이것은 다양한 잡음 함수와 각각의 푸리에 변환을 보여주었습니다.

이것은 픽셀 데이터의 이산 변환입니까, 아니면 임의의 지점에서 노이즈를 생성하는 데 사용되는 연속 보간 함수의 연속 변환입니까?

환상의 모양은 가능한 모든 각도에서 이미지의 중심을 통과하는 선의 1D 푸리에 변환을 수행하는 것과 유사합니까? 아니면 중심을 통과하는 선을 따라가 아니라 전체 2D 공간에서 측정 가능한 각에 대한 변환도 측정됩니까? 입력 이미지의 변경 사항이 푸리에 변환의 변경 사항에 해당하는 것에 대한 직관적 인 느낌을 얻으려고합니다.

2D 푸리에 변환은 먼저 이미지의 각 행에서 1D 푸리에 변환을 수행 한 다음 결과를 취하고 각 열에서 1D 푸리에 변환을 수행하여 수행됩니다. 혹은 그 반대로도; 중요하지 않습니다.

1D 푸리에 변환을 사용하여 함수를 다양한 주파수에서 (1D) 사인파의 합으로 분해 할 수있는 것처럼 2D 푸리에 변환은 함수를 2D 사인파의 합으로 분해합니다. 이 파도는 x와 y 축을 따라 다른 주파수를 가질 수 있습니다. 그들은 일반적으로 다음과 같은 형식을 갖습니다.

여기서 및 는 및 축의 주파수 입니다. 이 두 값은 파동 벡터라는 벡터를 형성합니다. 공간 영역에서, 웨이브는 축을 따라 주파수가 있는 벡터를 따라 지향됩니다 .k y x y ( k x , k y ) $k_x$$k_y$$x$$y$$(k_x, k_y)$$\sqrt{k_x^2 + k_y^2}$

1D 푸리에 변환과 마찬가지로 이산 버전과 연속 버전이 있습니다. 이산 2D 푸리에 변환의 결과는 이산 값 집합에 대한 복소 진폭의 행렬입니다 . 이것은 좌표의 픽셀 이 해당 파동 벡터의 진폭을 나타내는 이미지로 일반적으로 연결된 종이와 같이 시각화 됩니다.( k x , k y$(k_x, k_y)$$(k_x, k_y)$

따라서 2D 푸리에 변환의 고리 모양은 좁은 범위의 범위 (고리 내부에서 외부로)로 주파수 분포 (즉, 모든 방향에서 파의 진폭만큼)의 회전 불변을 나타냅니다. 다시 말해, 논문은 푸리에 변환 (Fourier Transform)을 사용하여 잡음이 등방성이고 대역 제한적임을 입증합니다.