3 차 라그랑주 보간 텐서 곱은 2 입방 보간과 동일합니까?

방금 4x4 가장 가까운 픽셀을 샘플링 한 다음 x 축에서 Lagrange 보간을 수행하여 y 축에서 Lagrange 보간을 사용하는 네 가지 값을 가져와 보간 된 텍스처 샘플링을 구현했습니다.

이것은 쌍 입방 보간과 동일합니까 아니면 다른가요? 아니면 다른 종류의 쌍 입방 보간법이 있습니까? 그리고 이것은 아마도 그들 중 하나일까요?

여기 Webgl Shadertoy 구현 및 관련 GLSL (WebGL) 코드 : https://www.shadertoy.com/view/MllSzX

감사!

float c_textureSize = 64.0;

float c_onePixel = 1.0 / c_textureSize;
float c_twoPixels = 2.0 / c_textureSize;

float c_x0 = -1.0;
float c_x1 =  0.0;
float c_x2 =  1.0;
float c_x3 =  2.0;

//=======================================================================================
vec3 CubicLagrange (vec3 A, vec3 B, vec3 C, vec3 D, float t)
{
    return
        A * 
        (
            (t - c_x1) / (c_x0 - c_x1) * 
            (t - c_x2) / (c_x0 - c_x2) *
            (t - c_x3) / (c_x0 - c_x3)
        ) +
        B * 
        (
            (t - c_x0) / (c_x1 - c_x0) * 
            (t - c_x2) / (c_x1 - c_x2) *
            (t - c_x3) / (c_x1 - c_x3)
        ) +
        C * 
        (
            (t - c_x0) / (c_x2 - c_x0) * 
            (t - c_x1) / (c_x2 - c_x1) *
            (t - c_x3) / (c_x2 - c_x3)
        ) +       
        D * 
        (
            (t - c_x0) / (c_x3 - c_x0) * 
            (t - c_x1) / (c_x3 - c_x1) *
            (t - c_x2) / (c_x3 - c_x2)
        );
}

//=======================================================================================
vec3 BicubicTextureSample (vec2 P)
{
    vec2 pixel = P * c_textureSize + 0.5;

    vec2 frac = fract(pixel);
    pixel = floor(pixel) / c_textureSize - vec2(c_onePixel/2.0);

    vec3 C00 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2(-c_onePixel ,-c_onePixel)).rgb;
    vec3 C10 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( 0.0        ,-c_onePixel)).rgb;
    vec3 C20 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( c_onePixel ,-c_onePixel)).rgb;
    vec3 C30 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( c_twoPixels,-c_onePixel)).rgb;

    vec3 C01 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2(-c_onePixel , 0.0)).rgb;
    vec3 C11 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( 0.0        , 0.0)).rgb;
    vec3 C21 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( c_onePixel , 0.0)).rgb;
    vec3 C31 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( c_twoPixels, 0.0)).rgb;    

    vec3 C02 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2(-c_onePixel , c_onePixel)).rgb;
    vec3 C12 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( 0.0        , c_onePixel)).rgb;
    vec3 C22 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( c_onePixel , c_onePixel)).rgb;
    vec3 C32 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( c_twoPixels, c_onePixel)).rgb;    

    vec3 C03 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2(-c_onePixel , c_twoPixels)).rgb;
    vec3 C13 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( 0.0        , c_twoPixels)).rgb;
    vec3 C23 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( c_onePixel , c_twoPixels)).rgb;
    vec3 C33 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( c_twoPixels, c_twoPixels)).rgb;    

    vec3 CP0X = CubicLagrange(C00, C10, C20, C30, frac.x);
    vec3 CP1X = CubicLagrange(C01, C11, C21, C31, frac.x);
    vec3 CP2X = CubicLagrange(C02, C12, C22, C32, frac.x);
    vec3 CP3X = CubicLagrange(C03, C13, C23, C33, frac.x);

    return CubicLagrange(CP0X, CP1X, CP2X, CP3X, frac.y);
}

바이 큐빅 텍스처 샘플링에 바이 큐빅 라그랑주 보간을 사용할 수는 있지만, 최고 품질의 옵션은 아니며 실제로는 사용되지 않을 수도 있습니다.

큐빅 은자 스플라인이 작업에 더 적합한 도구입니다.

Lagrange 보간은 데이터 점을 통과하는 곡선을 만들어 C0 연속성을 유지하지만 은자 스플라인은 가장자리에서 미분을 유지하면서 데이터 점을 통과하여 C1 연속성을 유지하고 훨씬 더 잘 보입니다.

이 질문에는 큐빅 은둔 스플라인에 대한 훌륭한 정보가 있습니다.

다음은 질문에 게시 한 코드의 입방 암 버전입니다.

//=======================================================================================
vec3 CubicHermite (vec3 A, vec3 B, vec3 C, vec3 D, float t)
{
    float t2 = t*t;
    float t3 = t*t*t;
    vec3 a = -A/2.0 + (3.0*B)/2.0 - (3.0*C)/2.0 + D/2.0;
    vec3 b = A - (5.0*B)/2.0 + 2.0*C - D / 2.0;
    vec3 c = -A/2.0 + C/2.0;
    vec3 d = B;

    return a*t3 + b*t2 + c*t + d;
}

//=======================================================================================
vec3 BicubicHermiteTextureSample (vec2 P)
{
    vec2 pixel = P * c_textureSize + 0.5;

    vec2 frac = fract(pixel);
    pixel = floor(pixel) / c_textureSize - vec2(c_onePixel/2.0);

    vec3 C00 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2(-c_onePixel ,-c_onePixel)).rgb;
    vec3 C10 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( 0.0        ,-c_onePixel)).rgb;
    vec3 C20 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( c_onePixel ,-c_onePixel)).rgb;
    vec3 C30 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( c_twoPixels,-c_onePixel)).rgb;

    vec3 C01 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2(-c_onePixel , 0.0)).rgb;
    vec3 C11 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( 0.0        , 0.0)).rgb;
    vec3 C21 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( c_onePixel , 0.0)).rgb;
    vec3 C31 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( c_twoPixels, 0.0)).rgb;    

    vec3 C02 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2(-c_onePixel , c_onePixel)).rgb;
    vec3 C12 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( 0.0        , c_onePixel)).rgb;
    vec3 C22 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( c_onePixel , c_onePixel)).rgb;
    vec3 C32 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( c_twoPixels, c_onePixel)).rgb;    

    vec3 C03 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2(-c_onePixel , c_twoPixels)).rgb;
    vec3 C13 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( 0.0        , c_twoPixels)).rgb;
    vec3 C23 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( c_onePixel , c_twoPixels)).rgb;
    vec3 C33 = texture2D(iChannel0, pixel + vec2( c_twoPixels, c_twoPixels)).rgb;    

    vec3 CP0X = CubicHermite(C00, C10, C20, C30, frac.x);
    vec3 CP1X = CubicHermite(C01, C11, C21, C31, frac.x);
    vec3 CP2X = CubicHermite(C02, C12, C22, C32, frac.x);
    vec3 CP3X = CubicHermite(C03, C13, C23, C33, frac.x);

    return CubicHermite(CP0X, CP1X, CP2X, CP3X, frac.y);
}

다음은 샘플링 방법의 차이점을 보여주는 그림입니다. 왼쪽에서 오른쪽으로 : 가장 가까운 이웃, 쌍 선형, Lagrange Bicubic, Hermite Bicubic