무작위로 균일하게 완벽한 샘플링

나는 그래프 있다고 가정 와 의 완벽한 matchings의 (알 수없는) 세트 . 이 세트가 비어 있지 않다고 가정하면 에서 무작위로 균일하게 샘플링하는 것이 얼마나 어렵 습니까? 균일하지만 거의 균일하지 않은 분포에 대해 괜찮다면 효율적인 알고리즘이 있습니까? $G$ $M(G)$ $G$ $M(G)$

— 아르 템 카즈 나체 예프
소스

에 대해 더 알고 있습니까? 즉, 제한된 그래프 클래스에 관심이 있으십니까?

G

$G$

— Juho

@ Juho 나는 일반적인 그래프, 특히 밀도 그래프에 대한 결과를 선호합니다 (그래서 Yuval이 대답에서 언급 한 것은 유망한 것처럼 보입니다). 전에 평면 그래프에 대한 결과를 보았습니다. 그러나 이것은 일반적인 질문이므로 흥미로운 그래프 제품군에 대한 답변이 있다면이 질문을 검색하는 다른 사람들이 알고 싶어 할 수도 있기 때문에 아마도 대답하는 것이 좋습니다.

— Artem Kaznatcheev

분명히하기 위해, 나는 당신이

를 가지고 있지 않다고 가정합니다 .

M (G)

$M(G)$

— Raphael

@Raphael 나는 당신이 그 질문이 사소한 것이라고 생각합니다. 사실 나는 당신이 방금 가지고 있다면 질문이 비교적 간단하다고 생각합니다

일반적으로 카운팅과 샘플링 간에는 대응 관계가 있기 때문입니다. 아니면 다른 방법으로 "수중에"있다는 의미입니까?

| M (G) |

$|M(G)|$

— Artem Kaznatcheev

내가 참조. 나는 당신의 문구가 모호하다는 것을 알았습니다. 내가 알았어?

— Raphael

답변:

밀도가 높은 그래프에서 완벽한 매칭을 샘플링하는 Jerrum and Sinclair (1989) 의 고전 논문이 있습니다. Jerrum, Sinclair and Vigoda (2004; pdf) 의 또 다른 고전 논문은 이분 그래프에서 완벽한 일치를 샘플링하는 것에 대해 설명합니다.

이 두 논문은 빠르게 혼합되는 Markov 체인을 사용하므로 샘플은 거의 균일합니다. 균일 한 샘플링이 어렵다고 생각합니다.

— 유발 필름 러스
소스

그래프가 평면이라고 가정하면이 샘플링 문제에 대한 다항식 시간 절차가 있습니다.

첫째, 완전 일치 횟수를 계산하는 문제는 평면 그래프의 경우 P입니다. ( https://en.wikipedia.org/wiki/FKT_algorithm ) (이 사실에 대한 좋은 설명은 Jerrum의 카운팅, 샘플링 및 통합에 관한 첫 번째 장에서 찾을 수 있습니다.)

$e$ $G$ $G \setminus e$ $e$ $G$

(이것은 매칭이 "자기-환원 가능"구조라는 사실을 이용하고 있으므로, 계수 문제와 균일 한 샘플링 문제는 본질적으로 동일합니다. 관점.)

이것이 올바른 분포를 제공한다는 간단한 증거 :

$c(H)$ $H$ $n!$ $n = H/2$

$e_1, \ldots, e_n$

$\frac{ c(G \setminus e_1)}{c(G)} \frac{ c(G \setminus \{e_1, e_2\} )}{c(G \setminus e_1)} \ldots \frac{ c(G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}) }{c(G \setminus \{ e_1, \ldots, e_{n-2} \} )}$

$c(G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}) = 1$ $G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}$ $e_n$ $1 / c(G)$

— 로렌조 나짓
소스