구성주의 논리에 결정 불가능한 언어가 존재합니까?

24

구성주의 논리는 배제와 더불어 배제 된 중간의 법칙을 공리로 제거하는 시스템입니다. Wikipedia에 여기 및 여기 에 설명되어 있습니다 . 특히, 시스템은 모순에 의한 증거를 허용하지 않습니다.

궁금한 점이 있는데, 이것이 튜링 머신 및 공식 언어와 관련된 결과에 어떤 영향을 미치는지 알고 있습니까? 언어가 결정 불가능하다는 거의 모든 증거는 모순에 의한 증거에 의존합니다. Diagonalization 논쟁과 축소의 개념은 모두 이런 식으로 작동합니다. 결정 불가능한 언어의 존재에 대한 "건설적인"증거가있을 수 있습니까? 그렇다면, 어떻게 보일까요?

편집 : 분명히, 구성주의 논리의 모순에 의한 증거에 대한 나의 이해는 잘못되었으며 대답은 이것을 분명히했습니다.

— jmite
소스

5

직관적 인 논리는 " 가정 하고 모순을 도출하므로 "라는 증거를 허용하지 않습니다 . 정의에 의해 과 같이 할 수 있습니다 . 당신이 할 수없는 것은 " 이라고 가정 하고, 모순을 도출하기 때문에 "입니다.

ϕ

$\phi$

\neg ϕ

$\lnot\phi$

\neg ϕ

$\lnot\phi$

ϕ \to ⊥

$\phi\to\bot$

\neg ϕ

$\lnot\phi$

ϕ

$\phi$

— Miles Rout

2

난 단지 아스 커 이미 :( 알고있는 것을 반복하는 것 같은 "하지만 여전히 모순에 의해 부정적인 진술의 증거를 수"에 대한 질문에 대한 편집 내 대답 보이게

— gelisam을

3

약간 더 어려운 질문을하기 위해 이미 답변 된 질문을 수정하는 대신 별도의 질문을 작성 (및 답변)하는 방법은 무엇입니까?

— gelisam

1

@gelisam 그래, asker로서 나는 확실히 편집을 지원하지 않는다. 되돌릴 게요

— jmite

18

예. 모순을 도출하기 위해 제외 된 중간이 필요하지 않습니다. 특히, 대각선 화는 여전히 작동합니다.

Conor McBride의 전형적인 대각선 화 논거는 다음과 같습니다 . 이 특별한 대각 화는 불완전성에 관한 것이지 결정 불가능한 것이 아니라 아이디어는 동일합니다. 주목해야 할 중요한 점은 그가 도출 한 모순은 "P가 아닌 P"형식이 아니라 "x = x + 1"형식이라는 점입니다.

물론, 이제 건설적인 논리가 "x = x + 1"을 모순으로 인정하는지 궁금 할 것입니다. 그렇습니다. 모순의 주된 속성은 모순에서 나온 것이 무엇이며 "x = x + 1"을 사용하면 실제로 두 자연수에 대해 "x = y"를 건설적으로 증명할 수 있습니다.

건설적인 증거에 대해 다를 수있는 한 가지는 "결정 불가능한"정의 방식입니다. 고전적인 논리에서 모든 언어는 결정 가능하거나 결정 불가능해야합니다. "결정 불가능"은 단순히 "결정 불가능"을 의미합니다. 그러나 건설적인 논리에서 "아님"은 기본 논리 연산이 아니므로 이러한 방식으로 결정 불가능 성을 표현할 수 없습니다. 대신, 언어를 결정할 수 있다고 가정 할 경우 언어를 결정할 수 없다고합니다.

사실, "not"이 건설적 논리의 기본 요소는 아니지만, 일반적으로 "P"가 아니라 "P는 모순을 구성하는 데 사용될 수 있습니다"라는 구문 설탕으로 정의합니다. 따라서 모순에 의한 증명은 실제로 유일한 방법입니다 "언어 L은 결정할 수 없다"와 같은 "P"가 아닌 형태의 진술을 건설적으로 입증한다.

— 기암
소스

내 생각에 당신의 대답은 분명히 제외 중간의 법을 구분하지 않습니다 (

)와 noncontradiction의 원칙 (

). 후자는 구성 적 / 직관적 논리를 유지합니다.

P \lor \neg P

$P \lor \lnot P$

\neg (P \land \neg P)

$\lnot(P \land \lnot P)$

— Miles Rout

9

고전적인 진술의 가능성에 대해 건설적으로 이야기 할 때, 종종 우리가 그것들을 공식화하는 것이 중요합니다. 고전적으로 동등한 제제는 건설적으로 동등 할 필요는 없다. 또한 건설적인 증거로 당신이 정확히 의미하는 바가 중요하며, 다양한 구성주의 학교가 있습니다.

예를 들어, 계산할 수없는 총 함수가 있다고 주장하는 진술은 교회 튜링 논문 (즉, 모든 기능은 계산 가능하다)을 공리로 가정하는 구성 수학의 풍미에서 사실이 아닐 것이다.

반면에 조심스럽게 계산할 수 있도록 공식화 할 수 있습니다. 계산 가능한 총 계산 함수의 계산 가능한 열거의 경우 열거에없는 총 계산 가능한 함수가 있습니다.

당신은 Andrej Bauer interesting에 의해이 게시물 을 찾을 수 있습니다 .

추신 : 카테고리 이론적 관점에서 대각선 화를 볼 수도 있습니다. 만나다

Francis William Lawvere , " 대각선 인수 및 데카르트 종결 범주 ", 1969

— 카베
소스

4

나는 생각한다 카디널리티 증거는 아직 계산 가능한 언어 (그래서 확실히 결정 불가능)하지 않은 언어의 존재를 보여주는 보유하고있다.

즉각적인 증거는 매우 간단합니다 .Turing Machines는 유한 알파벳 (이진 일 수도 있음)으로 인코딩되어 있기 때문에 셀 수없이 많으며 모든 언어 집합이 고정 알파벳 (이진 일 수도 있음) )은 해당 알파벳에 대한 문자열 집합의 모든 하위 집합 집합입니다. 즉, 계산 가능한 집합의 전원 집합이므로 계산할 수 없어야합니다. 따라서 언어보다 튜링 머신이 적으므로 계산할 수없는 것이 있습니다.

이것은 내가 건설적으로 충분하다고 생각합니다 (물리적으로 추구하는 것은 불가능하지만, 어떤 언어 집합을 가리키고 언어가 계산 불가능하다는 것을 알 수있는 방법을 제공합니다).

그런 다음 셀 수있는 셀 수와 셀 수없는 셀 세트가 서로 다른 카디널리티, 특히 대각선 화를 피할 수 있음을 보여줄 수 있는지 묻습니다. 나는 이것이 여전히 가능하다고 생각합니다. 캔터의 원래 주장 은 또한 건설적인 것으로 보인다.

물론 이것은 구성 주의적 논리에 대해 훨씬 더 잘 아는 사람이 확인해야합니다.

— 루크 매티 슨
소스

3

나는 내가 말할 수있는 것에서 이것에 대해 약간의 의견이 다르지만 대각선 화 주장이 건설적이라고 다른 사람들과 동의한다고 생각합니다.

우리가 결정 가능한 모든 언어 세트를보고 있다고 가정합니다. 대각선을 사용하여 결정 불가능한 언어를 구성 할 수 있습니다. 역사적으로 나는 이것들이 관련 아크라고 생각하지만, "구성주의"와 "최종"을 전혀 같은 것으로 간주하지 않는다는 점은 주목할 가치가 있습니다.

첫째, 나는 심지어 구성 론자들조차도 결정 가능한 언어들이 셀 수 있다는 것에 동의한다고 생각한다. 튜링 머신 세트는 셀 수 있으며 (유한 문자열을 사용하여 모든 유효한 TM을 인코딩 할 수 있음)이 계약은 매우 쉽게 따릅니다.

$L_1, L_2, ..., L_k, ...$

문자열 고려하십시오 $0^i$ .
$0^i \in L_i$ $0^i$ .
$0^i \notin L_i$ $0^i$

$n$ $L_1, L_2, ..., L_n$ . 임의의 (또는 잠재적으로 무한한) 단계를 거쳐 방금 구성한 언어와 일치하는 언어를 세트에서 찾을 수 없습니다.

기술적으로 우리는 "결정할 수없는"언어를 만들었습니다. "결정 불가능"이 "결정 불가능"과 혼동되어서는 안된다고 주장하는 구성 론자가 흥미로운 질문이지만, 대답 할 수없는 질문이다.

명확히하기 위해, 이것이 내가 생각하는 것은 다음과 같습니다. 우리는 Turing 기계에 의해 결정되지 않은 언어가 존재한다는 것을 건설적으로 증명할 수 있습니다. 특정 프레임 워크 내에서 해석하기가 더 어려운 질문입니다.

— 패트릭 87
소스