각 빈에 같은 색의 볼이 포함되도록 최소 스왑 수를 사용하십시오.

있습니다 쓰레기통에서, 내가 일 빈은 포함 내가 공을. 공은이 n 개의 색깔이있다 나는 색상의 공 전 . 하자 m = Σ N 난 = 1 I를 .$n$$i$$a_i$$n$$a_i$$i$$m=\sum_{i=1}^n a_i$

스왑은 한 빈에서 공을 가져오고 다른 빈에서 공을 스왑합니다. 각 빈에 같은 색의 볼만 포함되도록 최소 스왑 수를 원합니다.

나는 쉽게 특별한 경우를 알고 내가 ≤ 2 모든 난을 . (경우 전 = 2를 모두 내가 , 당신은 한 번도 대부분의 각 공을 교환하여 작업을 수행 할 수 있습니다.)$a_i\leq 2$$i$$a_i=2$$i$

편집 : 이것은 찾는 것이 NP-hard 이기 때문에 잘못되었습니다 .$c(D)$

어떤 색상이 어떤 용지함에 들어가는 지 알면 문제가 쉽습니다.

다중 도표 , V = { v 1 , … , v n }을 고려하십시오 . 우리는 컬러를 알고있는 경우 나 빈 간다 B ( I ) 하고있다 유전율 평행 아크 ( j는 , B ( 나 ) ) 에 빈 IFF에 J 포함 K의 색의 공 $D=(V,A)$$V=\{v_1,\ldots,v_n\}$$i$$b(i)$$k$$(j,b(i))$$A$$j$$k$$i$. 그래프의 각 구성 요소는 Eulerian입니다. 필요한 최소 스왑 수는 . 여기서 c ( D ) 는 A 를 포함 하는 아크 분리 사이클 수입니다 . 우리는 Eulerian 회로를 "따라"교환 할 수 있습니다. (최소 사이클의 아크를 사용하는 스왑은 더 작은 최소 사이클과 자체 루프로 변경할 수 있습니다). 전체 그래프가 자체 루프로 설정되면 필요한 모든 스왑을 만들었습니다.$m-c(D)$$c(D)$$A$

이 문제는 일반적으로 얼마나 어렵습니까?

오일러의 최대 분해 에지 이산 사이클 그래프로 NP-하드 인 감독이 책에있어서 적어도, 알고리즘 및 애플리케이션 : 그의 60 생일에 즈음 에스코 Ukkonen에 전용 에세이 .

btw, 여기 당신이 해결하려고하는 문제와 관련된 기사가 있습니다 : 네덜란드 국기 알고리즘에 대한 무증상 최적 알고리즘 .

$n \le 6$